Binom ligning og den komplekst konjugerede løsning

Lad polynomiet være

p(z) = a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 + ... + a₂z² + a₁z + a₀ ,

hvor koefficienterne a₀, a₁, ..., a_n er reelle.

Hvis polynomiet har en ikke-reel, kompleks rod z₀ , gælder der

p(z₀) = 0 .

Der gælder da, (hvor understregning betyder kompleks konjugering), at

(p(z₀)) = 0 , dvs

a_nz₀ⁿ + a_n-1z₀^n-1 + ... + a₂z₀² + a₁z₀ + a₀ = 0 , dvs.

p(z₀) = 0 ,

så hvis z₀ er en rod, er den kompleks konjugerede z₀ også en rod.

Det er kun, hvis polynomiet har en ikke-reel, kompleks rod, at det også har den komplekst konjugerede som rod.

Den er jeg helt med på, men for ligningen z⁵ = 125 kommer der 5 komplekse rødder, og det er her jeg står af, fordi her ville jeg havde gættet på at der var et 4 komplekse rødde og en reel ..

#3

Den ligning har 1 reel rod og 2 sæt af par af komplekst konjugerede rødder.

z⁵ = 125 = 5³ ⇔ z = 5^3/5 · e^i·2π·p/5 , p = 0,1,2,3,4 .

okay, tak. Jeg ved ikke hvad der skete men nu regner maple det også til 1 reel og 2 sæt komplekst konjugerede :)