Matematik
Optimering af et observatorium
Goddag allesammen.
En astronom skal bygge et astronomisk observatorium.
Hun vil have et observatorium med cirkulær grundplan, lodrette vægge og et halvkugle- formet tag. Øjensynligt er hun blevet inspireret af bagkassen pa° et Omega Constellation a°rgang 1955, som vist i figur 1.
Kuplen og væggene til observatoriet skal beklædes med kobber. Blikkenslageren fortæller, at flader som krummer i mere end en retning er dobbelt sa° dyre som flader der kun krummer i en retning. Det samlede rumfang af observatoriet skal være 25m3. Observatoriet skal dimensioneres sa° materialeprisen bliver sa° lille som muligt.
Hvordan skal observatoriet dimensioneres?
Jeg har fundet formlen for en Cylinder halvkugle, som er 35m3 = π · r2 · h + π · r3 · (2/3) , men kan ikke komme videre, er der nogle der vil hjælpe mig med at komme videre?
Svar #1
03. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)
Der er to parametre i problemet: cylinderes radius r og cylinderens højde h.
Observatoriets rumfang er
V = Vcyl + Vhalvkugle = πr2·h + (2π/3)·r3 = 25
der benyttes til at udtrykke h ved r.
Prisen på materialerne er
P = p·Acyl,krum + 2·p·Ahalvkugle = p·(2πr·h + 2·2π·r2)
hvor p er en arbitrær materialepris pr arealenhed.
Indsæt udtrykket for h i udtrykket for P og find så minimum for P(r) ved at løse ligningen P'(r) = 0 .
Svar #2
03. marts 2014 af Cliff0910
#1
Hvordan finder jeg minnimum af P(r) som talværdi? Sker det ved en aflæsning?
Svar #3
03. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Det sker ved at differentiere funktionen P(r) og løse ligningen P'(r) = 0 .
P(r) = p·(2πr·(25/(πr2) - (2/3)·r) + 4π·r2)
= p·(50/r + (8π/3)·r2)
Svar #4
03. marts 2014 af Cliff0910
#2
hvad er det du ganger med for at du får (8π/3) hvor forsvinder r'et ?
Svar #5
03. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)
#4
Det er leddene 2πr·(-2/3)·r + 4π·r2 , der kombineres til
4π·r2·(1 - 1/3) = 4π·r2·(2/3) = (8π/3)·r2
Svar #7
03. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)
#6
Det divideres væk, når man løser ligningen P'(r) = 0 .
Svar #8
03. marts 2014 af Cliff0910
#7
Måske lyder det dumt, men hvordan divideres den væk? Og hvad så med P(r)
Svar #9
03. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)
#8
P(r) er proportional med enhedsprisen p , så at løse ligningen P'(r) = 0 vil være ensbetydende med at løse ligningen
P'(r)/p = 0
idet p ≠ 0 .
Differentier funktionen P(r) og løs nu ligningen P'(r) = 0 .
Svar #10
03. marts 2014 af Cliff0910
#9
Jeg får P(r)' til (-25/r)+12·π·r og P(r) til (50/r)-(8/3)·π·r2,
når jeg sætter P'(r) lig 0 så får jeg ** se vedhæftet fil hvis billedet ikke kan ses
Svar #11
03. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)
#10
Man har (se #3)
P(r)/p = 50/r + (8π/3)·r2 ,
hvorfor
P'(r)/p = -50/r2 + (16π/3)·r ,
så ligningen P'(r) = 0 fører da til ligningen
-50/r2 + (16π/3)·r = 0 , dvs.
r3 = 3·50/(16π) = 75/(8π)
og dermed
r = [ 75/(8π) ]1/3 ≈ 1,440
Svar #12
03. marts 2014 af Andersen11 (Slettet)
For den optimale værdi af r har man
r3 = 75/(8π) ,
og dermed findes den tilhørende højde h til
h = (25 - (2π/3)·r3) / (πr2) = (25 - (2π/3)·75/(8π)) / (πr2) = (25 - (25/4)) / (πr2)
= 25·3 / (4πr2) = 2r3 / r2 = 2r = 75/(4π) .
Skriv et svar til: Optimering af et observatorium
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.