Matematik

Ligning for tangenten

09. marts 2014 af snilo (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, kan i hjælpe mig med denne opgave:

En funktion f er løsning til differentialligningen

dy/dx=-x+y (*)

og grafen for f går gennem punktet P(2, 8).

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i P.
Man benytter vel bare ligningen yt=f'(x0)*(x-x0)+f(x0)
Hvor x0=2, f(x0)=8 og men er f'(x0)=-1 eller?

b)Gør rede for, at enhver funktion af typen er løsning til (*)

g(x)=x+1+ce^x

Brugbart svar (1)

Svar #1
09. marts 2014 af peter lind

Sæt x=2, y= 8 ind i differentialligningen. Det giver hældningen eller f'(x₀) om du vil

b) Find g'(x) og sammenlign med højre side i ligningen eller med andre ord: gør prøve

Svar #2
09. marts 2014 af snilo (Slettet)

# 1
Så det vil sige at ligningen for tangenten er: yt= 6x-4 ?

I b'eren skulle der egentlig stå:
b) Gør rede for, at enhver funktion af typen g(x)=x+1+ce^x er løsning til (*)
Skal jeg stadig bare gøre prøve, ved at finde g'(x)?

Brugbart svar (1)

Svar #3
09. marts 2014 af peter lind

ja til begge spørgsmål

Svar #4
09. marts 2014 af snilo (Slettet)

Jeg forstår ikke helt, hvad jeg skal sammenligne med?

- g'(x)=1+c*e^x

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. marts 2014 af peter lind

Med højre side x+y = ? hvor du erstatter y med g(x)

Svar #6
09. marts 2014 af snilo (Slettet)

Kan du forklare mig hvorfor?

Brugbart svar (1)

Svar #7
09. marts 2014 af peter lind

At en funktion er løsning betyder at hvis du indsætter den pågældende funktion i ligningen giver den noget, der altid er sandt. Det er det du efterviser ved at indsætte funktionen i ligningen

Brugbart svar (1)

Svar #8
09. marts 2014 af mathon

#6
detaljer:
$\small y\: '= -x+y$

$\small y\: '\: -\: y= -x$ begge sider multipliceres med e^-x

$\small e^{-x}\cdot y\: '\: -\: e^{-x}\cdot y= -x\cdot e^{-x}$ venstre side omskrives

$\small \left (e^{-x}\cdot y \right )\: ' = -e^{-x}\cdot x$ som integreres med hensyn til x

$\small e^{-x}\cdot y = -\int e^{-x}\cdot xdx$

$\small e^{-x}\cdot y = -\left ( -e^{-x}\cdot x\: +\int \inte e^ {-x}dx \right )$

$\small e^{-x}\cdot y = -\left ( -e^{-x}\cdot x\: -e^{-x}\right ) + C$

$\small e^{-x}\cdot y = e^{-x}\cdot x\: +e^{-x} + C$

$\small e^{-x}\cdot y = C + e^{-x}\left ( x+1 \right )$

$\small y = C\cdot e^x + x+1$

Brugbart svar (1)

Svar #9
10. marts 2014 af mathon

b) #8 baglæns:

hvis enhver funktion af typen

$\small g(x) = y = C\cdot e^x + x +1$
er en løsning til

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -x + y$

skal

$\small g\: '(x)= -x+y = y-x$

hvilket undersøges om er tilfældet:

$\small g\: '(x)= C\: e^x + 1 = y - x = -x + y = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$

altså er
enhver funktion af typen

$\small g(x) = y = C\cdot e^x + x +1$
en løsning til

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = -x + y$

Skriv et svar til: Ligning for tangenten

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.