Integrer integralet y(t)=e^((-5/4)*t^4)* ∫( e^((5/4) * t^4) * (-6t^3) ) dt

Benyt substitution u = (5/4)t⁴ , du = 5·t³ dt .

brug substitution  u=5*t⁴/4   du = 5*t³dt

.
       sæt
                           og dermed     

Opsamlet

y(t) = e^{-(5/4) * t^4} * ∫ (e^5/4 * ^{t^4} *(-6t^3) dt     substitution: u = (5/4)t⁴ , du = 5·t³ dt 

y(t) = e^{-(5/4) * t^4} * ∫ (e^u *(-6t^3) du   <----- indsætter u sådan?

#4

Nej, det er en ufuldstændig substitution, du laver. Der skal ikke både være u og t i integralet, når substitutionen er færdig. Se i stedet #3.

Opsamling:            

så altså         u = 5/4·t⁴             og så differentiere vi det og får

                    du/dt = 5/4·4t⁴    <=>    du = 5·t³    <=>    - 6/5·du = - 6·t³      

y(t) = e^{-(5/4) · t4} · ∫ (e^{5/4 · t^4 ·}(-6t³) dt          indsætter u

y(t) = e^{-(5/4) · t^4} · ∫ e^u ·(-6/5) du   <=>        flytter (-6/5) udenfor

y(t) = e^{-(5/4) · t^4} ·(-6/5) ·∫ e^u du  <=>

y(t) = e^{-(5/4) · t^4} ·(-6/5) e^u + k    <=>         beregner integralet 

y(t) = e^{-(5/4) · t^4} ·(-6/5) e^{5/4 · t^4} + k          substituerer tilbage 

sådan?

#7

Nej, det er ikke rigtigt fremstillet.

Med substitutionen u = (5/4)·t⁴ , fås du/dt = 5·t³ eller du = 5·t³ dt , eller -(6/5) du = -6·t³ dt ,

der så benyttes i integralet

∫ e^{(5/4)·t^4} (-6t³) dt = -(6/5)·∫ e^u du = -(6/5)·e^u + k = -(6/5)·e^{(5/4)·t^4} + k ,

og det kan så ganges med faktoren e^{-(5/4)·t^4} foran integralet.

u = 5/4·t⁴          du/dt = 5/4·4t³    <=>    du = 5·t³ dt    <=>    - 6/5·du = - 6·t³ dt

y(t) = e^{-(5/4) · t^4} · ∫ (e^{5/4 · t^4} ·(-6t3) dt

y(t) = e^{-(5/4) · t^4} ·(-6/5) · ∫ e^u ·du

y(t) = e^{-(5/4) · t^4} ·(-6/5)  e^u + k 

y(t) = e^{-(5/4) · t^4} ·(-6/5)  e^{5/4 · t^4} + k 

#9

De to sidste linier er ikke korrekte. Der skal en parentes omkring (-6/5)  e^u + k , og du skal så reducere det lidt mere.

y(t) = e^{-(5/4) · t^4} ·(-6/5) · ∫ e^u ·du

y(t) = e^{-(5/4) · t^4} ·( (-6/5)  e^u + k )

y(t) = e^{-(5/4) · t^4}  ·(-6/5)·e^{-(5/4) · t^4} + e^{-(5/4) · t^4}·k

y(t) = e⁰  ·(-6/5)  + e-(5/4) · t^4·k

y(t) = (-6/5)  + e^{-(5/4) · t^4}·k

#11

Ja, sådan. For tydelighedens skyld kan man flytte faktoren k hen foran eksponentialfunktionen.

# 0 lader, i overskriften, med den perifer parentes på højre side af lighedstegnet, formode, at funktionen hedder

hvor det ubestemte integral optræder i eksponenten for det førstnævnte e .

#13

Det er jo heldigt, så, at integralet også blev defineret i selve teksten i #0.

okay så det vil sige at differentialigningen

y(t) = e^{-(5/4) · t^4}· ∫ (e^{5/4 · t^4} ·(-6t^3) dt 

har en fuldstændig ligning som er

y(t) = e^{-(5/4) · t^4}·k + (-6/5),  hvor k ∈ R

#15

Det giver ikke rigtigt mening, som du har skrevet det. Begge de to udtryk er udtryk for den fuldstændige løsning til en differentialligning, som du ikke har angivet her. Formodentlig er differentialligningen

        y' +5t³·y = -6t³       ?

ja okay så y' +5t³·y = -6t³ 

har en fuldstændig løsning som er

y(t) = e^{-(5/4) · t^4·k} + (-6/5),  hvor k ∈ R

#17

Nej, det hedder den fuldstændige løsning, ikke ligning.

ja okay, tak for hjælpen :)