Kædebrøker og pi!

Hvad tænker du specifikt på - Wallis produkt til eksempel ?

Det ser nogen lunde sådan her ud:

pi = 3 + 1/……………..

[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1 ……]

pi er lig med 3 + 1 divideret med 7 + 1 divideret med osv.

Jeg tror at det var en ved navnet Lambert som lavede den:

det var i år 1770 at han gjorde det:

"Nogenlunde" er ikke godt nok. Skriv præcist hvorledes rækken ser ud.

Skal rækken forstås således

pi=3+1/(7+1/(15+1/(1+1/(292+...

eller

pi=3+1/7+1/15+1/1+1/292...

Den sidste mulighed må forkastes idet rækken tydeligvis aldrig konvergerer mod pi (om overhovedet), men det er nok til at kaste tvivl over korrektheden af dit indlæg.

det er den første:
Jeg var bare i tvivl om hvordan jeg kunne skrive det:

Argh, det må du undskylde, der står jo også kædebrøk i overskriften. I mellemtiden er der også dukket gammel lærdom op af glemslernes tåge.

Nuvel, en simpel kædebrøk defineres som en brøk på formen

x = a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + ... (*)

hvor a0, a1, a2, ... er positive heltal. Man kan skrive brøken mere kompakt som [a0,a1,a2,a3,...].

Man ser af (*) at med x givet (det kunne f.eks. være pi) beregnes heltallene i den simple kædebkrøk for tallet med algoritmen

1. Tag heltalsdelen af x. Dette er a0, thi

int(x) = int(a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + ...) = a0 + 0 = a0

idet 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3+... tydeligvis er mindre end 1 og derfor har heltalsdelen 0.

2. Beregn x-a0 og inverter:

x-a0 = 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3+...

og derfor

1/(x-a0) = a1 + 1/(a2 + 1/(a3+...

3. Tag heltalsdelen af 1/(x-a0). Dette giver a1 med præcis samme argumentation som i trin 1.

Ved nu at forstætte på denne måde kan alle tallene a0,a1,... beregnes.

Rent lommeregnerteknisk foregår beregningerne altså ved at man indtaster det tal, hvis kædebrøk ønskes betsemt. Dernæst trækker man heltalsdelen af dette tal (a0) fra, inverterer, trækker heltalesdelene (a1) af dette tal fra, inverterer, trækker heltalsdelen (a2) af dette tal fra og så videre.

Udføres ovenstående procedure på pi vil du se, at det går skævt ved 292. Ihvertfald får min lommeregner 293 og de efterfølgende tal afviger også fra din sekvens. Dette skyldes at kædebrøken du oplyser ikke er beregnet udfra den tilnærmede værdi for pi som min lommeregner anvender.