Matematik
Eksamensopgaver
04. januar 2006 af
det.dean (Slettet)
Hey..
Jeg har en kæmpe problem med opg 3022..
Den lyder som følger:
I en retvinklede trekant ABC er AB hypotenusen. M er midtpunktet af AB. Gør rede for, at M er centrum for trekantens omskrevne cirkel.
Jeg kan nemt se det ved at tegne nogle retvinklede trekanter at det er tilfældet. Ved også at de 3 midtnormalers skæringspunkt er centrum for trenkantens omskrevne cirkel, og kan også se at det er i midtpunktet for en retvinklede trekant, men ved ikke helt hvad man kan skrive eller gøre.. Nogle der måske kunne hjælpe??
\\\\det.dean
Jeg har en kæmpe problem med opg 3022..
Den lyder som følger:
I en retvinklede trekant ABC er AB hypotenusen. M er midtpunktet af AB. Gør rede for, at M er centrum for trekantens omskrevne cirkel.
Jeg kan nemt se det ved at tegne nogle retvinklede trekanter at det er tilfældet. Ved også at de 3 midtnormalers skæringspunkt er centrum for trenkantens omskrevne cirkel, og kan også se at det er i midtpunktet for en retvinklede trekant, men ved ikke helt hvad man kan skrive eller gøre.. Nogle der måske kunne hjælpe??
\\\\det.dean
Svar #1
04. januar 2006 af fixer (Slettet)
Som du rigtigt har fat i er midtnormalernes skæringspunkt center for trekantens omskrevne cirkel (alle trekanter har en omskreven cirkel).
Du skal nu vise at dette skæringspunkt falder i midtpunktet af hypotenusen.
Tegn en retvinklet trekant ABC, hvori vinkel C er den rette vinkel. På hypotenusen AB markeres dennes midtpunkt M. M ligger per definition på midtnormalen til AB.
Benævn sidelængderne BC, AC og AB med henholdsvis a, b og c. Da er stykkerne AM og BM hver især c/2.
Marker dernæst midtpunktet P af siden AC og midtpunktet Q af siden BC.
Trekant BQM er ensvinklet med trekant BCA. Derfor haves
QM/BM = AC/AB <=>
QM/(½c) = b/c <=>
QM = ½b
Punktet M ligger altså i samme afstand fra BC som midtpunktet P af AC. M ligger derfor på midtnormalen gennem P.
Tilsvarende ses at trekant APM er ensvinklet med trekant ACB hvorfor
PM/AM = BC/AB <=>
PM/(½c) = a/c <=>
PM = ½a
og M ligger derfor i samme afstand fra AC som midtpunktet Q af BC. M ligger derfor også på midtnormalen gennem Q.
M ligger dermed på alle tre midtnormal og må derfor være skæringspunktet mellem disse og dermed centrum for trekantens omskrevne cirkel.
Som kontrol kan du verificere, at længden af AM=BM=CM=c/2. Disse tre punkter ligger derfor på en cirkel med centrum i M og radius c/2.
Du skal nu vise at dette skæringspunkt falder i midtpunktet af hypotenusen.
Tegn en retvinklet trekant ABC, hvori vinkel C er den rette vinkel. På hypotenusen AB markeres dennes midtpunkt M. M ligger per definition på midtnormalen til AB.
Benævn sidelængderne BC, AC og AB med henholdsvis a, b og c. Da er stykkerne AM og BM hver især c/2.
Marker dernæst midtpunktet P af siden AC og midtpunktet Q af siden BC.
Trekant BQM er ensvinklet med trekant BCA. Derfor haves
QM/BM = AC/AB <=>
QM/(½c) = b/c <=>
QM = ½b
Punktet M ligger altså i samme afstand fra BC som midtpunktet P af AC. M ligger derfor på midtnormalen gennem P.
Tilsvarende ses at trekant APM er ensvinklet med trekant ACB hvorfor
PM/AM = BC/AB <=>
PM/(½c) = a/c <=>
PM = ½a
og M ligger derfor i samme afstand fra AC som midtpunktet Q af BC. M ligger derfor også på midtnormalen gennem Q.
M ligger dermed på alle tre midtnormal og må derfor være skæringspunktet mellem disse og dermed centrum for trekantens omskrevne cirkel.
Som kontrol kan du verificere, at længden af AM=BM=CM=c/2. Disse tre punkter ligger derfor på en cirkel med centrum i M og radius c/2.
Skriv et svar til: Eksamensopgaver
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.