Side 2 - lokale ekstrema

#20

Det er ikke y-værdier, det er funktionsværdier. Ja, du skal finde minimum of maksimum for funktionen

        f₁(x) = -4x³ - x² + 4x

på intervallet [0;1] .

Jeg forstår det ikke helt. Altså lige nu har jeg tre x-værdier, som er x=0, x=1/2 og x=-2/3. Er det x-værdier for mine ekstrema eller kun mulige x-værdier for mine ekstrema? Den eneste af de x-værdier, der ikke ligger i intervallet er -2/3. Så skal jeg bare fjerne denne x-værdi og finde f1(1/2) og f1(0)?

#22

Jeg ved ikke hvor du fik x = 0 fra.

2.- gradsligningen  f₁'(x) = 0 har de to rødder x = 1/2 og x = -2/3 . Kun x = 1/2 ligger i intervallet [0;1] . Man skal også undersøge intervallets endepunkter, så man skal beregne f(0) , f(1/2) og f(1) , udskille den største og mindste funktionsværdi og så bestemme de punkter i D, hvor funktionen f(x,y) antager sin største og mindste værdi.

Okay. Og det er stadig funktionen   f1(x) = -4x^3 - x^2 + 4x som jeg skal indsætte mine x-værdier i?

Så jeg får f(0)=0,  f(1/2)=1,25 og f(1)=-1. så jeg har punkterne (0,0), (1/2,1,25) og (1,-1)?

#24

Nej, det er jo ikke punkterne i D. Funktionen f₁(x) har på intervallet [0;1] den største værdi 5/4 og den mindste værdi -1 . Disse funktionsværdier er derfor også hhv. den største og den mindste funktionesværdi for funktionen f(x,y) på mængden D. Du skal så bestemme de punkter i D, hvor funktionen f(x,y) antager sin største og mindste værdi.

Okay. Så jeg skrotter x=0, da det hverken er en mindste eller størsteværdi. Men nu ved jeg ikke om jeg er helt med mht. resten. Du siger, at 1,25 og -1 også er de største værdier for f(x,y) på D. Så skal jeg finde de værdier på D, hvor y=-1 og y=1,25? Er det så i den der hedder y^2+x^2=1? 

#26

Nej, slet ikke. Den oprindelige funktion f(x,y) er her defineret på en delmængde D af planen. Vi undersøgte funktionens restriktion f₁(x) til en del af randen af D og fandt frem til, at funktionen f(x,y) har den største værdi 5/4 og den mindste værdi -1. Du skal nu bestemme de punkter i D, hvor funktionen f(x,y) antager sin største og sin mindste værdi. Benyt, at det finder sted i punkter på randen af D med de x-koordinater, vi fandt frem til ved hjælp af funktionen f₁(x) . Det er den del af randen af D, der udgøres af halvcirklen.

Så jeg skal sige f(1/2,5/4) og f(1,-1)?

#28

Nej. Du skal finde de punkter på randen af D , hvor x = 1/2, og hvor x = 1 .

Så jeg skal indsætte x=1 og x=1/2 i y^2+x^2=1? Så jeg har y=0 og y=0.75?

#30

Ja, fremgangsmåden er korrekt, men det sidste resultat er ikke korrekt.

nej. Y må være sqrt(0.75). Ikke?

#32

Ja, det er lidt bedre, men stadig ufuldstændigt. Man vil foretrække at kalde den værdi for (√3)/2 .

Okay. Så nu har jeg at mine ekstrema ligger ved f(1,0) og f(1/2,sprt(3)/2)? Og den af de to,d er har den højeste funktionsværdi må være maksimum og den anden må være minimum?

Jeg har forstået det nu. Det var en lang omgang! Tusind tak for hjælpen og for din store tålmodighed. Dejligt, at der findes mennesker, der vil afsætte deres tid til at hjælpe andre :)

#34

Det er kun delvist løst.

Funktionen f(x,y) antager sit maksimum 5/4 på D i punkterne (1/2;(√3)/2) og (1/2;-(√3)/2) , og den antager sit minimum -1 på D i punktet (1;0) .