lokale ekstrema

 Funktionen f er kontinuert og mængden D er afsluttet og begrænset, så f har et globalt maksimum og et globalt minimum på D. Find mulige stationære punkter i det indre af D og undersøg funktionen særskilt på randen af D.

Find de partielle afledede af funktionen med hensyn til x henholdsvisy og sæt dem lig 0. Det giver to ligninger til at bestemme lokale maksima og minima. Andre lokale maksima kan findes på randen af definitionsområdet.

Er randen af D 1 og 0?

Og hvordan kan jeg se, at mængden er begrænset? Kan godt se, hvorfor den er lukket. 

Det er jo halvdelen af en cirkelskive og det er en begrænset mængde

Jeg har fundet et stationært punkt i D som er (0,0). Skal jeg bruge andenordenstesten til at undersøge om det er et minimum eller maksimum?

Det kan du godt men det kan gøres nemmere. Der er angivet i opgaven at det er et ekstrema, så du kan bare sammenligne funktionsværdien i punktet med funktionsværdien i et andet punkt

#6

Det stationære punkt ligger på randen af D. Undersøg nu f på randen af D. Randen består af liniestykket

         x = 0 , -1 ≤ y ≤ 1

og halvcirklen

        x² + y² = 1 , x ≥ 0 .

På liniestykket er f(x,y) = 0 .

På halvcirklen har man

        f(x,y) = 4x·y² - x² = 4x·(1-x²) - x² = -4x³ - x² +4x , 0 ≤ x ≤ 1 .

Undersøg nu funktionen på halvcirklen.

Forstår ikke helt, hvad det er jeg skal gøre med halvcirklen. Skal jeg bare sætte den lig med 0?

Den ene rand af halvcirklen er givet ved x= 0. Sæt det ind i funktionen og find derefter optimum for den fremkomnne funktion

Den anden rand er givet ved x²+y² = 1  x≥0

Isoler x i den ligning og sæt resultatet ind i funktionen. Find så optimum for den fremkomne funktion

#9

Man skal finde minimum of maksimum for f(x,y) på halvcirklen. Dvs, man skal finde minimum og maksimum for funktionen

        f₁(x) = -4x³ - x² +4x , 0 ≤ x ≤ 1 .

Okay  nu forstår jeg. Jeg finder altså y-værdier for x ved randpunkterne. Og samtidigt svarer mit ene randpunkt til det stationære punkt. Har jeg forstået det rigtigt?

Så mine ekstrema ligger ved x=0 og x=0,4?

#12

Funktionen f(x,y) har kun det ene stationære punkt (0,0), og det ligger på randen af D. Derfor er det her tilstrækkeligt at undersøge funktionen f(x,y) på randen af D.

Den ene del af randen udgøres af liniestykket mellem punkterne (0;-1) og (0;1) , hvor funktionen har den konstante værdi 0.

Den anden del af randen udgøres af halvcirklen  x² + y² = 1 , x ≥ 0  , hvor y² = 1 - x² , og hvor funktionen kan betragtes som en funktion af x alene, som vist i #11. Find nu maximum og minimum for denne funktion.

#13

Hvordan er du nået frem til det?

Hov #13 var en fejlberegning. Mine ekstrema må ligge ved x=0, x=-2/3 og x=1/2. Passer det nu?

#16

Prøv at vise, hvordan du er nået frem til det.

Okay. Jeg har funktionen:

  f1(x) = -4x^3 - x^2 +4x , 0 ≤ x ≤ 1 

Når jeg differentierer den får jeg:

f1'(x)=-12x^2-2x+4

Jeg sætter den lig med 0:

-12x^2-2x+4=0

Jeg isolerer x ved at løse det som en andengradsligning:

#18

Ja, det er korrekt. Du skal så vælge den/de løsninger, der er relevante her og beregne funktionsværdierne. Du ksal også undersøge randfunktionens værdier i intervallets endepunkter.

#18

Altså skal jeg nu finde y-værdierne til mine x-værdier ved at indsætte dem i funktionen f1(x) = -4x^3 - x^2 +4x , 0 ≤ x ≤ 1?