Aflevering om ligninger

Har du haft om vektorfunktioner, (altså beskrevet en cirkel vha. en funktion)?

Narj det har jeg ik.. men alt kan bruges er VIRKELIG desperat!!

Jeg har tegnet linjen ind i et koordinatsystem men ved ik hvordan jeg skal komme videre...! Jeg kan ik finde ud af at finde Centrum...!

Så er det man skal være positiv og opfatte det som en udfordring...

Først og fremmest: tegn!

Linien ser ud til at være den linie, der forbinder punkterne (0;6) med (9;0) (tjek efter). Det kontrolleres, at punktet (3;4) virkeligt ligger på denne linie. Punktet (10;2) tegnes ind.

Den cirkel, der tangerer linien i (3;4) og går gennem (10;2)? Af tegningen kan du se, at cirkelen må være sådan halvstor, centrum må ligge oppe i x = 8 til 12 stykker og y = 12 - 16 ud fra min frihåndstegning.

Centrum kan konstrueres geometrisk sådan her: 1. Tegn den vinkelrette til linien gennem punktet (3;4). 2. Tegn liniestykket fra (3;4) til (10;2). 3. Kontruer midtnormalen til liniestykket fra 2. 4. Centrum er hvor midtnormalen fra 3. skærer den vinkelrette fra 1.

Dette virker, fordi alle punkter på midtnormalen fra 3. har ens afstand til de to punkter og fordi skæringspunktet tillige ligger vinkelret ud for (3;4) i forhold til den oprindelige linie.

Opgaven er nu "bare" at omsætte dette til en udregning, der giver os centrums koordinater. Radius kan så findes som afstanden mellem det udregnede centrum og et af de to oprindelige punkter.

Jeg kan godt se, at dette er bøvlet, er der nogen, der kan komme op med noget smartere?

Jeg kan godt se at det er rigtigt det du gør, men jeg kan ikke rigtigt forstå hvorfor du gør som du gør, ku du eventuelt komme med en forklaring??? Men jeg er dig evig taknemlig over at du har hjulpet det du har!!!!

Det der med "bar" at omsætte det til en udregning , det er ikke helt let når jeg ikke rigtig kan forstå hvorfor man bruger midtnormalen og den vinkelrette linie???

Jeg ville mene du skal have fat i cirklens ligning (r^2=(x-a)^2+(y-b)^2), hvorefer du opstiller to ligninger med to ubekendte, fordi du kender to koordinatsæt som cirklen skal gå igennem. Men jeg ved ikke om jeg har forstået opgaven rigtigt... cirklen skal gå igennem (10,2) men skal den også tangere i (3,4)?? eller skal den bare tangere linien i et vilkårligt punkt???

Ja den skal også tangere i (3,4)

Ja men det giver da mere end to ubekendte.. Jeg mangler både a,b og radius.....

Eller er jeg helt forkert på den?? Jeg føler mig virkelig Lost?? men tættere på opklaringen end før jeg kom herind!...

Er der nogen der vil være søde at hjælpe mig, jeg får virkelig snart spat af denne her opgave..!!

Please....

Først regner du, med de to punkter, centrum vha. midtpunktsformlen:

M=((Xb+Xa)/2),((Yb+Ya)/2)
M=((10+3)/2),((2+4)/2)
M=(6,5;3)

Dette er altså centrum.

Diameteren kan beregnes ved afstandsformlen:

D=(kvadratrod af:)(Xb-Xa)^2+(Yb+Ya)^2
D=(kvadratrod af:)(10-3)^2+(2-4)^2
D=7,28

Dvs: radius=7,28/2=3,64

Og så har du cirkelligningen:

r^2=(X+A)^2+(Y+B)^2
3,64^2=(X+6,5)^2+(Y+3)^2

Håber det hjalp...:)

Forklaring til #5 af Vega107:

Som jeg skrev i #4, så virker konstruktionen fordi alle punkter på midtnormalen har ens afstand til de to punkter, og fordi skæringspunktet tillige ligger vinkelret ud for (3;4) i forhold til den oprindelige linie. Uddybende: en cirkel opfylder jo, at dens punkter alle er lige langt fra dens centrum. Ved at lave midtnormalen til de to punkter finder jeg ALLE de punkter, der har ens afstand til de to punkter. Derfor må centrum ligge et eller andet sted på denne midtnormal. Centrum må også ligge på den vinkelrette til den oprindelige linie i tangentpunktet - hvis centrum ikke lå på denne vinkelrette, ville den oprindelige linie ikke kunne være tanget. Du har nu to linier - tangentens vinkelrette og midnormalen og centrum SKAL ligge på dem begge to på en gang. Det kan kun lade sig gøre i deres skæring. Derfor...

Og nu til kamp med udregningerne:

Allerførst, nilles indlæg #13 tror jeg misforstår opgaven, fordi centrum placeres, så linien umuligt kan være en tangent i (3;4).

Først pakker vi saddeltaskerne:

A. Når en linie har ligningen ax+by=k, så står vektoren (a, b) vinkelret på linien.

B. Givet vektoren (a, b) så står vektoren (-b, a) vinkelret herpå.

C. Givet et punkt (x0, y0) og en vektor (a,b), så er linien gennem (x0, y0) vinkelret på (a,b) givet ved ligningen ax + by = k, hvor k=ax0 + by0.

And now, saddle up for algebra:

Midtnormal: midtpunkt er fundet af nille i #13 og er (6,5; 3); vektoren fra det ene punkt til det andet står vinkelret på midtnormalen, og er (10;2)-(3;4)=(7; -2). Dermed kan midtnormalen findes v.h.a. C i saddeltasken og efter reduktion har du: 14x - 4y = 79.

Den vinkelrette til tangenten: Iflg. ligningen for den opgivne linie står vektoren (2;3) vinkelret på denne linie. I flg. B vil vektoren (3; -2) så stå vinkelret på liniens vinkelrette. I flg. C findes ligningen til 3x - 2y = 1.

Centrum: Så isoleres y i begge ligninger, som så sættes lig hinanden (metoden for at finde to liniers skæring) - den ligning, der kummer ud af det løses, jeg får x = 77/8. Dette sættes ind i en af ligningerne for at finde y, jeg får y = 223/16.

Radius: find kvadratet på afstanden fra centrum til et af punkterne, så har du r^2.

TUSIND MILLIONER TAK!!! jeg har forstået det nu... Du aner ikke hvor lettet jeg er over at ha forstået en ting i det svære matematikunivers