lineær algebra

R^n skal rettes til F^n i 2. linje.. det skal vises for et generelt legeme F

(1) Følgende påstand er IKKE rigtigt:

"For to vilkårlige lineære underrum W1, W2 af F^n, hvor F er et legme, gælder at W!\\W2 er et lineært underrum af F^n".

Modeksempel 1: Lad legmet være R, de reele tal, og lad n=3. (Nu kan vi se det for os). Lad W1 være xy-planen, og lad W2 være z-aksen, Det ses overmåde let at disse er lineære underrum.

W1\\W2 er nu lig med xy-planen fraregnet 0. Men 0 skal være med i ethver lineært underrum, så W1\\W2 er IKKE et lineær underrum.

Modeksempel 2: W1 = xy-planen, W2 = x-aksen. Nu er W1\\W2 lig med xy-planen fraregnet x-aksen, hvilket ikke er et lineær underrum.

Så er der ikke oprindelig spurgt om fællesmængde i (1)?

d'oh.. selvfølgelig.. jeg har kopieret dele af opgaveformuleringen ud af et pdf-dokument.. det er selvfølgelig fællesmængde

Test af fællesmængde tegn:

∩

Test af gamma:

Λ

Hm! Ikke tilfredstillende!

Jeg må så bruge "^" til at betegne fællesmængde...

Ang. 1, så er strategien at sige: jeg skal vise at W1^W2 er et lineært underrum, ud fra forudsætningerne. Et linieært underrum betyder at enhver linearkombination af elementer fra rummet atter skal ligge i rummet. Sådan skal W1^W2 altså opføre sig.

Vælg da w1 og w2 fra W1^W2, samt t1 og t2 fra F, og se på elementet

w = t1*w1 + t2*w2

hvor * er multiplikation i legmet F og hvor + er koordinatvis addition af vektorer i F^n. Ligger w så selv i W1^W2?

Ja, for w1 og w2 ligger i dels W1, og derfor ligger w også i W1 (for W1 er et lin.u.-rum), og w1 og w2 ligger også i W2, af samme grund. Således ligger w i W1 og W2 på samme tid, d.v.s. w ligger i W1^W2.

Da vi ikke har gjort nogen antagelser om hvordan w1 og w2 blev udvalgt inden for W1^W2, gælder dette for *alle* sådanne valg, og derfor er W1^W2 et linieært underrum.

Meget pedantisk, ikke sandt? Men det skal man være i starten :-)

M.h.t. (2) skal du først nøje have gennemtænkt, at frasen "hvis og kun hvis" betyder det sammen som "ensbetydende med", altså "<=>". Så opgaven er altså at vise at for W1, W2 lin. u.-rum af F^n, så gælder

i. ((W1 delmgd. af W2) eller (W2 delmgd. af W1) => (W1 U W2 er et lin. u.-rum.)

ii. (W1 U W2 er et lin. u.-rum.) => ((W1 delmgd. af W2) eller (W2 delmgd. af W1)).

i. er triviel, for hvis f.eks. W1 delmgd. af W2, hvad er W1 U W2 så ligmed?

Dit hint gælder ii: hvis det IKKE er tilfældet at ((W1 delmgd. af W2) eller (W2 delmgd. af W1), så er W1 ikke en delmgd. af W2 OG W2 er heller ikke en delmgd. af W1. Så findes der w1 i W1 uden for W2 Og et w2 i W2 uden for W1. w1 og w2 kommer imidlertid begge fra W1 U W2. Så hvis W1 U W2 var en lin. u.-rum, så skulle w1 + w2 også ligge i W1 U W2. Hintet tilsiger dig nu, at vise, at w1 + w2 IKKE ligger i W1 U W2. Kan du gøre dette (brug linearitet af W1 og W2), så har du vist, at hvis højresiden af => i ii ikke gælder, så gælder venstresiden heller ikke.

Formuleret abstrakt logisk: Hvis A er et udsagn, så vil jeg (med et lån fra Java og C++) skrive !A om benægtelsen af A. Hvis du skal vise A => B, så kan det nogen gange være nemmere at vise !B => !A. Denne teknik kaldes kontraposition.

Jeg håber jeg har "ramt rigtigt" med dette svar - som du ser handler meget af opgaven om at styre logikken. At "hvis-og-kun-hvis" betyder <=> og at a=>B er det samme som !A=>!B skal sidde på rygmarven og vil derfra være til uvurderlig hjælp.

mange tak for svaret.. jeg forstår godt den overordnede logik, men kan desværre stadig ikke finde på et argument for at w1 + w2 ikke ligger i W1 U W2 (jeg kan finde på et geometrisk argument, men det duer jo ikke for n>3)

OK, vi har w1 tilh. W1\\W2, og w2 tilh. W2\\W1.

Sæt så w = w1 + w2.

Så er w1 = w - w2, og w2 = w - w1.

Hvis w tilhørte W2, så følger det nu af lineariteten af W2, at også w - w2 skulle tilhøre W2. Men w - w2 er jo w1, og du har antaget at w IKKE ligger i W2. Og helt tilsvarende kan w heller ikke ligge i W1. Altså ligger w uden for både W1 og W2, d.v.s. W1 U W2.

mange tak.. det gælder jo lige om at få øje på sådan noget ;)