Differentialregning

Ligningen for tangenten er givet ved y = f(x0) + f'(x0)(x-x0).

Fra forskriften for f finfes f'(x0). Til sidst løses ligningen y = 0 for x. Dermed har du et generelt udtryk for tangentens skæringspunkt med x-aksen. Derefter bliver du spurgt om, hvad løsningen er for specifikke værdier af hhv. a og x0. Denne findes ved indsætning i det generelle udtryk.

1) Opkriv en ligning for tangenten til grafen for
f(x)=ax^2 i (xo,f(xo)).

2) Bestem derefter koordinaterne til tangentens skæringspunkt med x-aksen.

Vi betragter herefter grafen for funktionen f(x)=3x^2 og dens tangent i (7,f(7)).

3) Bestem tangentens skæingspunkt med x-aksen.


----------------------------------------------
----------------------------------------------

1)

f(x)=ax^2 i (xo,f(xo)).

Ligningen for tangenten er givet ved
y = f(xo) + f'(xo)(x-xo).

f'(xo) = (a(xo)^2)' = 2a(xo)
f(xo)=a(xo)^2

y = f(xo) + f'(xo)(x-xo) =

y = a(xo)^2 + 2a(xo)(x-xo) =

y = a(xo)^2 + 2a(xo)x - 2a(xo)^2 =

y = [2a(xo)]x + [a(xo)^2 - 2a(xo)^2] =

y = [2a(xo)]x - a(xo)^2




----------------------------------------

2) Bestem derefter koordinaterne til tangentens skæringspunkt med x-aksen:

Tangentens skæringspunkt med x-aksen er hvor y = 0:
Så vi sætter y = 0 i

y = [2a(xo)]x - a(xo)^2 .


0 = [2a(xo)]x - a(xo)^2

[2a(xo)]x = a(xo)^2

x = (a(xo)^2) / (2a(xo))

x = (xo)^2 / (2(xo))

x = xo/2 = ½·xo


således er koordinaterne til tangentens skæringspunkt med x-aksen:

(x,y) = ( ½xo , 0) .

-----------------------------------------

3) Bestem tangentens skæingspunkt med x-aksen.

Vi betragter herefter grafen for funktionen f(x)=3x^2 og dens tangent i (7,f(7)).

Her er det så bare at benyttet de resultater vi fandt ovenfor med

xo = 7


koordinaterne til tangentens skæringspunkt med x-aksen:

(x,y) = ( ½xo , 0) = (½·7 , 0) = (3,5 ; 0) .

altså

(x,y) = (3,5 ; 0)

eller

(x,y) = (7/2 , 0)

om man vil.



Duffy