Matematik

Hjælp til en svær matopg.

20. november 2006 af cs (Slettet)

Hej sidder og bakser med en opgave men kan ikke finde ud af den....vil høre om der er nogen der gider at hjælpe.

(a) Løs ligningen tanh(x) = 1/2

b) Vis at tanh´(x) = 1 - (tanh(x))^2 for alle reelle x.

c) (c) Vis at (tanh^-1)´(x) = 1/ (1- x^2) for alle -1 < x < 1.

d) beny overstående til at udregne
int(0 til 0,5)(1/(1-x^2))dx

håber nogen har tid til at hjælpe

på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. november 2006 af DanielPetersen (Slettet)

Ja, det er en simpel hyperbolsk trigonometrisk ligning, men jeg tvivler på, at det er gymnasiestof?

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. november 2006 af mathon

...har du hyperbolske ogm omvendthyperbolske funktioner på din regnemaskine?...

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. november 2006 af mathon

a)
Løs ligningen tanh(x) = 1/2

tanh(x) = 1/2

(1/2)[e^x-e^(-x)]/((1/2)[e^x+e^(-x)]) = 1/2

e^x-e^(-x) = (1/2)*[e^x+e^(-x)]

e^x-e^(-x) = (1/2)*e^x+(1/2)*e^(-x)

(1/2)*e^x = (3/2)*e^(-x)

e^x = 3e^(-x)

(e^x)^2 = 3

e^(2x) = 3

(2x) = ln(3)

x = ln(3)/2

Svar #4
20. november 2006 af cs (Slettet)

tak for hjælpen til a og nej har ikke været inde og rette profilen endnu.

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. november 2006 af mathon

b)
det forudsættes bekendt, at

cosh'(x) = sinh(x), sinh'(x) = cosh(x) og
cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1

tanh'(x) = (sinh(x)/cosh(x))'

tanh'(x) = [cosh(x)*sinh'(x)-cosh'(x)*sinh(x)]/cosh^2(x)

tanh'(x) = [cosh^2(x)-sinh^2(x)]/cosh^2(x)

tanh'(x) = 1 - sinh^2(x)/cosh^2(x)

tanh'(x) = 1 - [sinh(x)/cosh(x)]^2

tanh'(x) = 1 - tanh^2(x), x€R

Svar #6
20. november 2006 af cs (Slettet)

Har svært ved at se hvordan du kommer fra

tanh'(x) = [cosh(x)*sinh'(x)-cosh'(x)*sinh(x)]/cosh^2(x)

tanh'(x) = [cosh^2(x)-sinh^2(x)]/cosh^2(x)

må man godt bare lave den omskrivning, kniber lidt med regnereglerne.
Og hvordan du derefter kommer til
tanh'(x) = 1 - sinh^2(x)/cosh^2(x)

Svar #7
20. november 2006 af cs (Slettet)

okay har fundet ud af det første trin med hvad med det andet

Svar #8
20. november 2006 af cs (Slettet)

jeg har fattet det nu, mange tak for hjælpen.

Brugbart svar (0)

Svar #9
20. november 2006 af mathon

I: y = tanh^-1(x)....(du ta'r tanh på begge sider)

tanh(y) = x...(du differentierer implicit med hensyn til x!)

[1 - tanh^2(y)]*dy/dx = 1, hvoraf

dy/dx = 1/[1 - tanh^2(y)]

dy/dx = 1/[1 - x^2], |x|<1

tanh'(x) = 1/[1 - x^2], |x|<1, hvilket skulle vises!
....(du integrerer med hentyn til x på begge sider)

S (dy/dx)*dx = S 1/[1 - x^2]*dx, |x|<1

S dy = S 1/[1 - x^2]*dx, |x|<1

y = S 1/[1-x^2]*dx, |x|<1
eller (i følge I)

tanh^-1(x) = S 1/[1-x^2]*dx, |x|<1

d)
0.5
S(1/(1-x^2))dx
0

0.5
[tanh^-1(x)] = tanh^-1(0.5) - tanh^-1(0)=
0

i følge a) er tanh^-1(0.5) = tanh^-1(1/2)= ln(3)/2

hvis tanh^-1(0)=z <=> 0=tanh(z)=sinh(z)/cosh(z)

sinh(z)/cosh(z)=0, hvoraf sinh(z)=0, hvoraf z=0

samlet:

0.5
[tanh^-1(x)] = tanh^-1(0.5) - tanh^-1(0)= ln(3)/2-0 =
0

ln(3)/2

Brugbart svar (0)

Svar #10
20. november 2006 af mathon

...dette er IKKE let at forklare, såfremt man ikke selv har styringen. Alt andet ville skønsmæssigt have givet ca. 50 svar - frem og tilbage!

Brugbart svar (0)

Svar #11
20. november 2006 af mathon

#6
tanh'(x) = [cosh(x)*sinh'(x)-cosh'(x)*sinh(x)]/cosh^2(x)

tanh'(x)=(sinh(x)/cosh(x))' altså reglen

(f(x)/g(x))' = [f'(x)/g(x)-f(x)/g'(x)]/g^2(x)

Brugbart svar (0)

Svar #12
20. november 2006 af mathon

#6
tanh'(x) = [cosh^2(x)-sinh^2(x)]/cosh^2(x)

tanh'(x) = 1 - sinh^2(x)/cosh^2(x)

...jeg har benyttet det forudsatte:

cosh'(x) = sinh(x) og sinh'(x) = cosh(x)

Svar #13
20. november 2006 af cs (Slettet)

mange tak for hjælpen.....det var dejligt at få noget hjælp når man har siddet med den i så lang tid.

Skriv et svar til: Hjælp til en svær matopg.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.