Lokale ekstramaer (lokalt min + max)

Du skal tænke nærmere over, hvordan man definerer differentialkvotienten. Den angiver en tangents hældning på funktionen i et punkt, hvis førstekoordinat tilhører definitionsmængden til den afledede. Hvis tangenthældningen er 0, kan der gælde et af de tre følgende (det må du prøve at indse); der er i punktet...:
1) ... et lokalt (evt. globalt) maksimum.
2) ... et lokalt (evt. globalt) minimum.
3) ... en vandret vendetangent.

Jeg vil selv formulere det, ved at sige, at funktionen i punktet er lokalt konstant, men den formulering, vil jeg ikke råde dig til at bruge medmindre andre med større indsigt kan godkende den.

I min graf, definerer den da skæringspunkt med y-aksen.

fx:

f(x) = 4·5^x genneløber punktet x=2

Så differentiere jeg den - og sætter 2 ind på x's plads, i både den differentierede samt den oprindelige funktion:

f(2)= 100
d(2)=160.944

Hvad er disse tal så?..

Når jeg indsætter dem i en linjens ligning y=ax+b
ser det således ud:

y=160.044x+100

Men af en eller anden grund, skal jeg minusse med 160.944 og gange med 2.

Hvorfor?

Hvorfor?

Eller hvad?

#2 Det afhænger nok af funktionen.

#3 Du er sikkert blevet bedt om at finde ligningen til tangenten, der går gennem punktet (2;f(2)) (da x = 2 ikke er et punkt og det ud fra dine udregninger ser ud som om, det er det, du skal).

Generelt gælder:
Når man skal finde en ligning til tangenten t, der går gennem punktet (x_0;f(x_0)) for en funktion f, som er differentiabel kan ligningen skrives som:

t: y = f(x_0) + f´(x_0)·(x-x_0)

Dette kan du også selv ret simpelt udlede. Hvis du kender funktionen og den afledede; og dermed tangentens hældning i et punkt (x_0;f(x_0)), kan du gøre ligesom i en lignende 1.g-opgave:

Du kender hældningen a og ved at grafen for funktionen f(x) = a·x + b går igennem punktet (x_0;f(x_0)). Dvs. der gælder:
f(x_0) = a·x_0 + b
<=> b = f(x_0) - a·x_0
Dette indsætter du i funktionen i stedet for b og får:
f(x) = a·x + f(x_0) - a·x_0 = f(x_0) + a·(x-x_0)
Du kan selv prøve at gøre det for tangenten, når du, som sagt, kender den afledede, funktionen og punktet, funktionen går igennem.
a svarer til f´(x)
f(x) svarer til y
Ellers kan du bare spørge igen...

Til den egentlige opgave:
Når den generelle ligning er:
y = f(x_0) + f´(x_0)·(x-x_0)
og du kender x_0 = 2, så mangler du bare at finde f(x_0) og f´(x_0), da x er uafhængig variabel og y er afhængig variabel.
Og som du rigtig nok har fundet:
f(2) = 100
f´(2) = 160,943... (ca.)= 160,94
Disse indsætter du i den generelle og får:
t: y = 160,94·x - 221,89