Matematik

Stokastisk Variabel... Spredning.. Help Bitte..!

17. marts 2004 af O'lai (Slettet)

Hejsa..
Har fået følgende opgave,

X er en stokastisk variabel der er normalfordelt med middelværdi 180 og en ukendt spredning.
Vi skal finde spredningen, når P(170< X >190) = 95%

Er der nogen der kan hjælpe mig med denne opgave?
Ved slet ikke hvordan jeg skal lave den, har normalfordelingspapir men kan ikke lige gennemskue hvad det er jeg skal tegne ind udover middelværdi 180... Hmm..
Det er forresten opg. 1412 i den blå Mat2 bog men det græske bogstav Fi udenpå..

På forhånd tak til jer alle! ;-)

Svar #1
17. marts 2004 af O'lai (Slettet)

Nåå.. Ska bare lige opdatere den her, håbede ellers der var et par stykker der kunne hjælpe mig?
Please.. :)

Svar #2
17. marts 2004 af O'lai (Slettet)

I need help people!
Sorry jeg er til besvær, men det nager mig bare at den opgave er så sort for mig.. :(

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. marts 2004 af riquelme (Slettet)

er du sikker på der står "P(170< X >190) = 95%"

Svar #4
17. marts 2004 af O'lai (Slettet)

Hmm...
Det står der rent faktisk!

Har lige talt med en ven og han siger at det er en fejl i min bog så der skal stå:

P(170

Sorry.. Kan det hjælpe på tingene?

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. marts 2004 af sigmund (Slettet)

Jeg har ikke lige bogen ved hånden, men så vidt jeg husker, så er fremgangsmåden beskrevet i lærebogen, MAT 2, under afsnittet om normalfordelingen eller afsnittet 'Normalfordelingspapir'. Jeg kan ikke helt huske, hvor det præcis står, men prøv at slå op i inholdsregistret i din MAT 2, det hjælper helt sikkert.

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. marts 2004 af Brian (Slettet)

Jeg læser det sådan, at du har fået oplyst, at sandsynligheden for at X falder i et interval +/- 10 på hver side af middelværdien (180) er 0,95.

Spredningen skal nu indrettes således, at det kommer til at passe...

Du kan gøre det med normalfordelingspapir sådan her:

Afsæt de tre punkter (170; 2,5%), (180; 50%) og (190; 97,5%). De skulle gerne ligge på linie.

Hvorfor 2,5% og 97,5%? Jo, fordi normalfordelingen er symmetrisk, og det interval, som X "skal" falde i udgør 95% - de sidste 5% skal p.g.a. symmetrien fordeles ligeligt i hver ende.

Denne linies hældningskoefficient (målt/beregnet med fraktil-tallene på y-aksen i stedet for procenterne) er spredningen.

Svar #7
17. marts 2004 af O'lai (Slettet)

Nix.. har jeg gjort inden..Og der står ikke andet i opgaven end det jeg har skrevet..
Men i bogen står der ingenting om hvordan spredningen kan findes, når man kender middelværdien... Så?
Har i ikke en ide til hvad man gør??

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. marts 2004 af Brian (Slettet)

Ups, må lige korrigere min egen sprogbrug, det er jeg jo meget emsig med: på normalpapirets y-akse er der to skalaer, en lineær og en med procenter. Det er den med procenterne, der er fraktil-tallene, ikke den lineære. Men når du skal finde din linies hældning, er det den lineære skala du skal bruge.

Brugbart svar (0)

Svar #9
17. marts 2004 af riquelme (Slettet)

i en normalfordeling vil sandsynligheden for at ligge i intervallet ±2*spredningen omkring middelværdien være 95%.. i dit tilfælde er ssh. for at ligge i intervallet ±10 omkring middelværdien 95%, så 2*spredningen = 10...

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. marts 2004 af iB (Slettet)

#9
Jeg sidder også og bøvler med statistik:
"i en normalfordeling vil sandsynligheden for at ligge i intervallet ±2*spredningen omkring middelværdien være 95%"
-Hvordan ved du det? (eller er det at spørge om hvorfor 2+2=4!?)

Brugbart svar (0)

Svar #11
17. marts 2004 af Brian (Slettet)

#9 og #10, det med 95% inden for +/- 2*spedningen er altså kun et slag på tasken eller en tommelfingerregel...

Det bedre tal er 1,960.

M.h.t. hvorfor det er sådan, tja, det følger af den måde standard-normalfordelingen er defineret på. Det er ikke som at spørge om hvorfor 2+2=4, det er mere sådan noget man kan vælge at huske, når man har meget med statisik at gøre (jeg har lige slået tallet op i en tabel).

Brugbart svar (0)

Svar #12
17. marts 2004 af Brian (Slettet)

Altså: det er bedre at sige, at X med 95% sandsynlighed falder inden for middelværdien +/- 1.960*spedningen...

Brugbart svar (0)

Svar #13
17. marts 2004 af Brian (Slettet)

Så, O'lai, det er nu kraftigt antydet, at du finder spredningen s (kan ikke skrive sigma her), ved

s = 10 / 1.960

Hvis du vender tilbage til normal-papiret...

så har jeg kvajet mig i #6 beklager meget!

Hældningen svarer ikke til s men til 1/s.

Se påpunkterne (170; 2.5%) og (180; 50%), og derefter kigger på de "andre" tal på y-aksen, så skulle der gerne ud for 50% stå 0, og ud for 2.5% stå -1.960.

Hvis du skal regne spredningen ud v.h.a. hældningskoefficient, vil du komme til at foretage denne division:

(0 - (-1.960)) / (180 - 170) = 1.960/10,

og det giver lige præcis den reciprokke til spredningen.

Sorry for forviringen!

Brugbart svar (0)

Svar #14
17. marts 2004 af riquelme (Slettet)

ja ok, men nu står der bare 95% (to betydende cifre) ;)

Brugbart svar (0)

Svar #15
17. marts 2004 af Brian (Slettet)

Joh, men hvis nu opgavens 95% er en eksakt størrelse og ikke noget der er målt, så burde vil vel også regne eksakt i den anden ende og så skrive Phi^(-1)(0.025) :?

Det giver bare ikke ret god fornemmelse for tallets størrelse, og så synes jeg det bedste er at sige -1.960, eller -1.96 for ikke at narre folk, der er ved at lære dette, til at tro, at det er eksakt -2.

Brugbart svar (0)

Svar #16
18. marts 2004 af sigmund (Slettet)

Brian, ved du noget om, hvordan man er kommet frem til at X med 95% sandsynlighed vil ligge inden for middelværdien +/- 1.960*spredningen (my +/- 1.960*sigma).

Brugbart svar (0)

Svar #17
18. marts 2004 af riquelme (Slettet)

det kan man vise ud fra forskriften for normalfordelingens tæthedsfunktion.. ved ikke præcis hvordan, men det er vel noget med at integrere fra -2*sigma til +2*sigma og se at det giver 0.9544... uanset værdien af µ

Brugbart svar (0)

Svar #18
18. marts 2004 af iB (Slettet)

Den du ser på er nok standard normal fordelingen....

Brugbart svar (0)

Svar #19
18. marts 2004 af 404error (Slettet)

#16: Brug fordelingsfunktionen for normalfordellingen. Lad X være N(µ,s)-fordelt - så gælder

P(µ-2*sF_X(µ+2*s)-F_X(µ-2*s)=
Phi((µ+2*s-µ)/s)-Phi((µ-2*s-µ)/s)=
Phi(2)-Phi(-2)=
F_Z(2)-F_Z(-2)=
P(-2
hvor Z er N(0,1)-fordelt (standardfordelingen). Fordelingsfunktionen for sidstnævnte kan du finde i en tabel og indse, at #17's påstand er rigtig.

Brugbart svar (0)

Svar #20
18. marts 2004 af Brian (Slettet)

#16: Det er måske ikke helt rigtigt at sige, at det er noget man "ved" i den forstand at det er noget man har "opdaget" - det følger simpelt hen af definitionerne på (kontinuert) fordeling og normalfordelingerne.

Ultra-kort fortalt, så er en stokastisk variabel Z STANDARD-normalfordelt, hvis dens tæthesfunktion, kaldet f_Z er givet ved

f_Z(x) = (1/kvrod(2*pi))*e^(x^2/2)

Denne funktion har fået sit eget særlige navn nemlig (lille) phi, fordi den er så vigtig.

Herefter skal det vises, at phi faktisk er en tæthedsfunktion, d.v.s. væsentligst at integralet af den fra -uendelig til +uendelig er 1. Dette findes i enhver videregående sandsynlighedslærebog.

Uheldigvis kan man ikke finde en stamfunktion til denne funktion med de sædvanlige metoder. Det er dog ikke det samme som at stamfunktionen ikke eksisterer, den kan bare ikke angives med de sædvanlige funktioner. Så den får også sig eget navn, og det er så(store) Phi. Den findes i tabeller eller (dyre)lommeregnere - Excel har den også.

Derefter må man vise, at Z har middelværdi 0 og varians 1, og dermed spredning kvrod(1) = 1. Dette findes også i bøgerne.

Herefter kan man definere en stokastisk variabel X til at være normalfordelt, hvis dens tæthedsfunktion er af formen:

f_X(x) = ( 1/(s*kvrod(2*pi)) )*e^( (x-m)^2/(2*s^2) )

Her må det igen kontrolleres at dette faktisk er en tæthedsfunktion, men dette arbejde lettes af man kan opdage, at

f_X(x) = (1/s)phi( (x-m)/s )

Når du skal finde fordelingsfunktionen for X, d.v.s. F_X(x) skal du udregne integralet fra -oo til x af

f_X(t)dt

og ved substitution vil du selv kunne vise, at dette er lig med

Phi((x-m)/s)

selv om du ikke kan angive Phi på anden måde end netop ved at skrive "Phi".

Dette er praktisk og okay, da Phi netop fines i tabeller og på (dyre) lommeregnere og i Excel.

Endelig skal man undersøge, hvad middelværdi og spredning for denne fordelng er, og det viser sig så, at middelværdien er m og spredningen s. Først DEREFTER giver det mening at sige, at middelværdi og spredning for X er hhv. m og s.

Alt dette kan du nu stykke sammen til en forklaring på hvorfor "X med 95% sandsynlighed vil ligge inden for middelværdien +/- 1.960*spredningen (my +/- 1.960*sigma)."

Dette er i form at en smuk udregning leveret af 404error i #19.

Skriv et svar til: Stokastisk Variabel... Spredning.. Help Bitte..!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.