Matematik
Ligning
19. april 2002 af
SP anonym (Slettet)
Hej, jeg går i 3.g og er ikke så god til matematik - fik 5 i karakterbogen. Vil i ikke lige lave denne opgave, med grundige forklaringer så jeg kan forstå det, og forklare det over for min lærer - husk jeg er meget dårlig, så gennemgå den, som var det for en ottende klasse.
Opgave 1:
I en model for rygtespredning inden for en gruppe på 500 personer er antallet af personer y, der har hørt et bestemt rygte, en funktion af tiden t. Der gælder, at den hastighed, hvormed y vokser, er proportional med produktet af y og det antal personer, der ikke har hørt rygtet. Proportionalitetsfaktoren er 0,0014, når tiden t måles i døgn.
Opstil en differentialligning, som y må opfylde.
Med hvilken hastighed vokser y til det tidspunkt, hvor 125 personer i gruppen har hørt rygtet?
Opgave 2:
En funktion f er løsning til differentialligningen
y"=9y
Grafen for f går gennem punktet P(1/3,e) og har vandret tangent i dette punkt.
Bestem en stamfunktion til f.
Kærlig Hilsen, Sofie Marie
- På Forhånd Tak !!!
P.s. Husk at gennemgå ligningen på en sådan måde at en dårlig 1.g'er ville kunne forstå det - for bedre er jeg ikke *s*
Opgave 1:
I en model for rygtespredning inden for en gruppe på 500 personer er antallet af personer y, der har hørt et bestemt rygte, en funktion af tiden t. Der gælder, at den hastighed, hvormed y vokser, er proportional med produktet af y og det antal personer, der ikke har hørt rygtet. Proportionalitetsfaktoren er 0,0014, når tiden t måles i døgn.
Opstil en differentialligning, som y må opfylde.
Med hvilken hastighed vokser y til det tidspunkt, hvor 125 personer i gruppen har hørt rygtet?
Opgave 2:
En funktion f er løsning til differentialligningen
y"=9y
Grafen for f går gennem punktet P(1/3,e) og har vandret tangent i dette punkt.
Bestem en stamfunktion til f.
Kærlig Hilsen, Sofie Marie
- På Forhånd Tak !!!
P.s. Husk at gennemgå ligningen på en sådan måde at en dårlig 1.g'er ville kunne forstå det - for bedre er jeg ikke *s*
Svar #1
19. april 2002 af SP anonym (Slettet)
Hej Sofie Marie.
Jeg kan næppe gennemgå ligningen, så en 1g'er forstår det - trods alt, det kræver, man kender bare lidt til differentialligninger :) Men jeg vil gøre mit bedste!
Opgave 1)
Som opgaven fortæller, er antallet af personer, der IKKE har hørt rygtet y, en funktion af tiden t. Hastigheden, hvormed y vokser er naturligvis y differentieret (øjeblikshastigheden). Du får oplyst, at denne væksthastighed er proportional med produktet af y og antallet af personer, der IKKE har hørt rygtet. Antallet af personer, der ikke har hørt rygtet må da være 500-y, d.v.s. y er proportional med:
(1) (500-y)*y.
Skrevet på en anden måde, hvis k er proportionalitetskonstanten, gælder, at
(2) y'=k*(500-y)*y.
Du får ydermere oplyst, at proportionalitetskonstanten i 0,0014 når tiden t måles i døgn, altså k=0,0014. Vi har da følgende differentialligning
(3) y'=0,0014*(500-y)*y.
Her må det desuden gælde, at y er større end nul (mindste antal personer, der har hørt rygtet) eller lig og mindre end eller lig 500 (max antal personer, der kan have hørt rygtet).
Hvis 125 personer har hørt rygtet, hvor hurtigt vokser y så? For at bestemme denne væksthastighed, indsættes blot y=125 i differentialligningen og vi får
(4) y'=0,0014*(500-125)*125=
0,656250
Enheden må iøvrigt være personer/døgn p.g.a. enheden for proportionalitetskonstanten.
Opgave 2) Hvis funktionen f er en løsning til differentialligningen og går gennem P(1/3,e) og har vandret tangent her, må det gælde, at differentialkvotienten af f i P(1/3,e) er nul, altså
(5) f(1/3)=e,
f'(1/3)=0.
D.v.s. vi har nu en andenordens differentialligning, hvor vi kender et såkaldt linjeelement, altså funktionsværdien og den afledede i et punkt. Det betyder, at vi kan bestemme en entydig funktion f, der opfylder differentialligningen.
I din formelsamling kan du sikkert finde, at den fuldstændige løsning til en differentialligning
(6) y''=k*y, k>0,
er givet ved
(7) y = c_1*e^(sqrt(k)x)+c_2*e^(- sqrt(k)x),
hvor "sqrt" betyder "kvadratrod" og c_1 og c_2 er reelle konstanter. For din differentialligning får vi derfor
(8) y = c_1*e^(3x)+c_2*e^(-3x),
Vi kan da bestemme de to konstanter udfra kendskab til linieelementet; indsæt x=1/3 i ligningen og sæt y=1 - differentiér desuden og indsæt x=1/3 og y'=0. Løs de to ligninger m.h.t. c_1 og c_2 og du får da funktionen f.
Så er det ganske ligetil at finde en stamfunktion til f ved integration.
Jeg kan næppe gennemgå ligningen, så en 1g'er forstår det - trods alt, det kræver, man kender bare lidt til differentialligninger :) Men jeg vil gøre mit bedste!
Opgave 1)
Som opgaven fortæller, er antallet af personer, der IKKE har hørt rygtet y, en funktion af tiden t. Hastigheden, hvormed y vokser er naturligvis y differentieret (øjeblikshastigheden). Du får oplyst, at denne væksthastighed er proportional med produktet af y og antallet af personer, der IKKE har hørt rygtet. Antallet af personer, der ikke har hørt rygtet må da være 500-y, d.v.s. y er proportional med:
(1) (500-y)*y.
Skrevet på en anden måde, hvis k er proportionalitetskonstanten, gælder, at
(2) y'=k*(500-y)*y.
Du får ydermere oplyst, at proportionalitetskonstanten i 0,0014 når tiden t måles i døgn, altså k=0,0014. Vi har da følgende differentialligning
(3) y'=0,0014*(500-y)*y.
Her må det desuden gælde, at y er større end nul (mindste antal personer, der har hørt rygtet) eller lig og mindre end eller lig 500 (max antal personer, der kan have hørt rygtet).
Hvis 125 personer har hørt rygtet, hvor hurtigt vokser y så? For at bestemme denne væksthastighed, indsættes blot y=125 i differentialligningen og vi får
(4) y'=0,0014*(500-125)*125=
0,656250
Enheden må iøvrigt være personer/døgn p.g.a. enheden for proportionalitetskonstanten.
Opgave 2) Hvis funktionen f er en løsning til differentialligningen og går gennem P(1/3,e) og har vandret tangent her, må det gælde, at differentialkvotienten af f i P(1/3,e) er nul, altså
(5) f(1/3)=e,
f'(1/3)=0.
D.v.s. vi har nu en andenordens differentialligning, hvor vi kender et såkaldt linjeelement, altså funktionsværdien og den afledede i et punkt. Det betyder, at vi kan bestemme en entydig funktion f, der opfylder differentialligningen.
I din formelsamling kan du sikkert finde, at den fuldstændige løsning til en differentialligning
(6) y''=k*y, k>0,
er givet ved
(7) y = c_1*e^(sqrt(k)x)+c_2*e^(- sqrt(k)x),
hvor "sqrt" betyder "kvadratrod" og c_1 og c_2 er reelle konstanter. For din differentialligning får vi derfor
(8) y = c_1*e^(3x)+c_2*e^(-3x),
Vi kan da bestemme de to konstanter udfra kendskab til linieelementet; indsæt x=1/3 i ligningen og sæt y=1 - differentiér desuden og indsæt x=1/3 og y'=0. Løs de to ligninger m.h.t. c_1 og c_2 og du får da funktionen f.
Så er det ganske ligetil at finde en stamfunktion til f ved integration.
Svar #2
19. april 2002 af SP anonym (Slettet)
Undskyld, i sidste del af opgaven skal du naturligvis indsætte x=1/3 og sætte y=e (første ligning)... Det dér med korrekturlæsning på så langt et indlæg er ikke lige min stærkeste side... ;)
Skriv et svar til: Ligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.