Matematik

Rumgeometri: kugle/plan

22. marts 2004 af Mr_Fuzzy (Slettet)

Hej
opgaven er 2.057 i eksamensbogen...

En kugle har centrum i O(0,0,0) og punktet
P(3,0,4). Altså udregnet ligningen for kuglen til 3x+4z=25.

"Der findes to planer, der tangerer kuglen, og som begge indeholder punkterne A(0,10,0)
og B(0,0,10)"

Bestem for hver af de to planer koordinatsættet til det punkt, hvori planen rører kuglen.

Jeg ved ikke rigtig hvordan jeg skal gribe problemet an..er der nogen der kan give nogle hints til hvordan det kan løses ?

Mvh. Mr_Fuzzy - på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. marts 2004 af Mads^^ (Slettet)

Kuglens centrum som er C fås ved at finde ligningen for kuglen. Det gøres ved hjælp af kvadratsætningerne. Du får (x-2)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=8+4+9+4
Centrum er så (2,3,2)
Når du skal finde punktet P skal du projekterer C ned på P. Du finder en parameterfremstilling med C som punkt og normalvektoren fra planen som retningsvektor. Denne skæres så med planen og du finder en t-værdi.
håber det hjalp!

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. marts 2004 af Brian (Slettet)

Din kugle ligning er forkert. Du har ret i at slutte at radius er 5, og at der derfor er noget med x, y og z, der skal give 5^2 = 25. Men den rigtige ligning er

x^2 + y^2 + z^2 = 25.

3x+4z=25 er ligningen for en plan.

Det med tangentplanerne skal jeg lige tænke lidt over. Jeg kan ikke love noget...

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. marts 2004 af Mads^^ (Slettet)

Hov - Jeg har vist en anden eksamensbog... min fejl :)

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. marts 2004 af Brian (Slettet)

Mads^^, skriver han ikke udtrykkeligt, at centrum er (0, 0, 0)?

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. marts 2004 af Brian (Slettet)

Nåsådan!

Brugbart svar (0)

Svar #6
22. marts 2004 af Mads^^ (Slettet)

De to planer som tangerer kuglen finder du ved at bruge vektoren fra centrum til punktet på planen P som normalvektor og P punkt...
Det med tangentplanerne: Du finder planerne og bruger formlen for "punkt til plan", hvor punktet er centrum i cirklen.

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. marts 2004 af Brian (Slettet)

Som jeg læser opgaven, skal tangentplanerne indeholde begge punkter. (Man kan sige, at de to punkter definerer en linie, som alle mulige planer kan dreje omkring. Præsic 2 sådanne planer vil tangere kuglen, en til den ene side og en til den anden).

Jeg vil også foreslå noget alla Mads^^: for et punkt (x, y, z) på kuglen, vil vektoren fra punktet til f.eks (0, 0, 10) være givet ved (-x, -y, 10-z). Den skal være vinkelret på (x, y, z). V.h.a. prikprodukt giver dette en ligning, der skal være 0. Tilsvarende med det andet punkt. Endelig udgør kuglens egen ligning (#2) en tredie ligning til at bestemme 3 ubekendte.

Selv om det er svært at tegne 3D så prøv - selv den mest kiksede skitse hjælper.

Brugbart svar (0)

Svar #8
22. marts 2004 af Mads^^ (Slettet)

Hmm... vil et ethvert tangerende plan ikke være vinkeltret på centrum af kuglen?

Svar #9
22. marts 2004 af Mr_Fuzzy (Slettet)

Tak for hjælpen Brian, jeg har nu gjort som du beskrev, og jeg fik det til at passe, ved at løse de 3 ligninger... :)
og fik derved de to ønskede koordinatsæt.

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. marts 2004 af Peden (Slettet)

Mads^^ det er vist noget vrøvl at snakke om at et plan er vinkelret på et punkt, her centrum af kuglen ;)

Brugbart svar (0)

Svar #11
22. marts 2004 af Mads^^ (Slettet)

:D ja - jeg mener selvfølgelig vektoren fra centrum til røringspunkt med planet.

Brugbart svar (0)

Svar #12
01. april 2006 af hund (Slettet)

Hey ..

Ved godt, at jeg er lidt sent ude, eftersom at denne tråd er 2 år gammel. Men jeg sidder med præcis samme opgave, og forstår ikke helt det råd, der bliver givet i #7. Nogen, der forstår det, så ville jeg værdsætte en uddybning :D

mvh,

hund

Brugbart svar (0)

Svar #13
01. april 2006 af fixer (Slettet)

Jeg har engang besvaret en nærmest identisk opgave udførligt. Hent inspiration her:

https://www.studieportalen.dk/forum/viewtopic.php?t=174329&h=undtagelsesvis

Brugbart svar (0)

Svar #14
01. april 2006 af hund (Slettet)

Men kan man bare gøre sån, hvis K's ligning lyder:

x^2 + y^2 + z^2 = 5^2

tror nemlig det er samme opgave, men at Finnt har lavet en mindre fejl ved bestemmelsen af kuglens ligning, da der eftertrykkeligt står i opgaven, at O(0,0,0) er centrum, og P(3,0,4) er et punkt på K.

Skriv et svar til: Rumgeometri: kugle/plan

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.