x^3-3x+1=0 ]1;2[

Nu kender jeg ikke din bog; men her er i hvert fald en måde det kan ses på.

med p(x) = x^3-3x+1 har du p(1) = -1, p(2) = 6.

Da p(x) er kontinuert må p(x) i intervallet ]1;2[ antage alle mellemliggende værdier herimellem 0.

Nåh ja, tak, p(1) er negativ og p(2) positiv, ergo er der en rod i intervallet X=]1;2[

Hvordan konkluderer du (udover at kigge på grafen) at p(x) er kontinuert, gælder der en generel regel for alle polynomier, at de er kontinuerte?

eller måske man kan bruge nulreglen, så ligningen reduceres til p(x) = x^2 - 3 + 1/x

og tager lim til hhv. x^2 - 3 og 1/x for at bruge sætningen lim (fg)(x) = lim f(x) * lim g(x) for h-> 0

??

Ja, alle polynomier er kontinuerte.

hvorfor ? kan det bevises?

Et n'e-gradspolynomium (defineret på hele R) kan skrives som

a*x^n + b*x^(n-1)+...en masse andre led...

ved at differentiere dette fås:

a*n*x^(n-1)+b*(n-1)*x^(n-2)... en masse andre led...

Nu har jeg opskrevet differentialkvotienten, og jeg ved derfor er der een differentialkvotient for alle x, hvilket betyder at n'e-gradspolynomiet er differentiabelt.

Og enhver differentiabel funktion er kontinuert, så derfor må ethvert polynomium være kontinuert.

Se evt. et bevis for at enhver differentiabel funktion er kontinuert på side 12 i disse noter:

http://www.logx.dk/notes/examensnoter.pdf

Lyder rigtigt nok, men det er sådan at opgaven er under 1. kapitel og differentiering først i 2. kapitel, så kan det bevises på anden vis?

jeg tror næppe at I skal lave et rigtigt bevis.

Hvis du blot siger, at funktionen er pæn og man ikke kommer til at dividere med nul nogen steder, så er det fint, når det bare er en opgave, der skal regnes.

Det kan faktisk ofte være ret svært (synes jeg) at bevise at en funktion er kontinuert ved at anvende definitionen af kontinuitet (og i øvrigt kan jeg heller ikke huske, hvordan man definerede kontinutiet i gymnasiet...).

Well, der står jeg vha. af mindst en af lærebogens sætninger skal vise at p(x)= x^3 - 3x + 1 mindst har 1 løsning i intervallet ]1;2[

Definitionen på kontinuitet er at delta y skal gå mod 0 for h-> 0

eller som der står i Mat 2B:

Sætning 3. kapitel 1:

[ f er kontinuert i Xo <=> /\y -> 0 for h -> 0 ]

Sætning 2. kapitel 2:

[ Hvis f er differentiabel i Xo, er f også kontinuert i Xo ]

Sætning 4. kapitel 1:

[En kontinuert funktion afbilder et interval på et interval]

Nu er det jo sådan at jeg i og med der er et lokalt minimum netop i p(1), sådan at der kan defineres værdimængden Vm(p)=]1;3[ og Dm(p)=]1;2[

altså et interval på et interval, hvorfor p må være kontinuert.

Det er bare sådan at "jeg ikke ved" at der er et lokalt minimum i p(1). P(x) kunne forsåvidt sagtens have et lokalt minimum lavere end i p(1) i ]1;2[

...

#11

Har du nogen sætninger om regneregler for kontinuerte funktioner til rådighed?

Det er noget af det første i min mat-bog, at hvis f(x) er kontinuert på et interval I og g(x) er kontinuert på samme interval, så er funktionen h givet ved h(x)=f(x)+g(x) eller h(x)=f(x)*g(x) også kontinuert.

... og det med vandrette tangenter er jo heller ikke noget jeg beskæftiger mig med før næste kapitel hvor jeg lærer at sætte differentialkvotienten lig 0 i et interval mellem fx. ]0;2[ ...

har dem alle ja, men du mener det er dem der skal bruges ?

#14

Hvis du har det, kan du vise at

p(x)=f(x)*f(x)*f(x)-3*f(x)+g(x)

hvor f(x)=x og g(x)=1

Dermed giver dine regneregler, at p(x) er kontinuert (hvis du da har et eksempel eller sætning, der siger, at f(x)=x og g(x)=1 er kontinuerte, men det formoder jeg næsten at der må være).

Idet p(x) er kontinuert, kan du bruge #1's argument.

\[
\begin{array}{l}
p(x) = x^3 - 3x + 1 \\
\\
f(x) = x^3 \vee g(x) = - 3x + 1 \\
\mathop {\lim f(x)}\limits_{h \to 0} = \frac{{(x + h)^3 - x^3 }}{h} \\
\\
= \frac{{(x + h)(x + h)^2 - x^3 }}{h} \\
= \frac{{(x + h)(x^2 + 2h + h^2 ) - x^3 }}{h} \\
= \frac{{x^3 + 2hx + xh^2 + hx^2 + 2h + h^3 - x^3 }}{h} \\
= \frac{{2hx + 2h + xh^2 + hx^2 + h^3 }}{h} \\
= 2x + 2 + xh + x^2 + h^2 \\
= x^2 + 2x + 2 \\
\\
\mathop {\lim g(x) = }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 3(x + h) + 1 - ( - 3x + 1)}}{h} \\
= \frac{{ - 3x - 3h + 1 + 3x - 1}}{h} \\
= - 3 \\
\\
= > \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} p(x) = \frac{{x^2 + 2x + 2}}{{ - 3}} \\
\end{array}
\]

pis :D fatter ik lige hvordan man får MathType til at oversætte til LaTeX - er helt ny til det.

% MathType!MTEF!2!1!+-
% feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr
% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9
% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x
% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaWGWb
% GaaiikaiaadIhacaGGPaGaeyypa0JaamiEamaaCaaaleqabaGaaG4m
% aaaakiabgkHiTiaaiodacaWG4bGaey4kaSIaaGymaaqaaaqaaiaadA
% gacaGGOaGaamiEaiaacMcacqGH9aqpcaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaI
% ZaaaaOGaeyikIOTaam4zaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9iabgk
% HiTiaaiodacaWG4bGaey4kaSIaaGymaaqaamaaxababaGaciiBaiaa
% cMgacaGGTbGaamOzaiaacIcacaWG4bGaaiykaaWcbaGaamiAaiabgk
% ziUkaaicdaaeqaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaGGOaGaamiEaiabgUca
% RiaadIgacaGGPaWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOGaeyOeI0IaamiEam
% aaCaaaleqabaGaaG4maaaaaOqaaiaadIgaaaaabaaabaGaeyypa0Za
% aSaaaeaacaGGOaGaamiEaiabgUcaRiaadIgacaGGPaGaaiikaiaadI
% hacqGHRaWkcaWGObGaaiykamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgkHi
% TiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaaakeaacaWGObaaaaqaaiabg2
% da9maalaaabaGaaiikaiaadIhacqGHRaWkcaWGObGaaiykaiaacIca
% caWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaaGOmaiaadIgacq
% GHRaWkcaWGObWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaaiykaiabgkHiTiaa
% dIhadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaaakeaacaWGObaaaaqaaiabg2da9m
% aalaaabaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaG4maaaakiabgUcaRiaaikda
% caWGObGaamiEaiabgUcaRiaadIhacaWGObWaaWbaaSqabeaacaaIYa
% aaaOGaey4kaSIaamiAaiaadIhadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGH
% RaWkcaaIYaGaamiAaiabgUcaRiaadIgadaahaaWcbeqaaiaaiodaaa
% GccqGHsislcaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIZaaaaaGcbaGaamiAaaaa
% aeaacqGH9aqpdaWcaaqaaiaaikdacaWGObGaamiEaiabgUcaRiaaik
% dacaWGObGaey4kaSIaamiEaiaadIgadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGc
% cqGHRaWkcaWGObGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRi
% aadIgadaahaaWcbeqaaiaaiodaaaaakeaacaWGObaaaaqaaiabg2da
% 9iaaikdacaWG4bGaey4kaSIaaGOmaiabgUcaRiaadIhacaWGObGaey
% 4kaSIaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiabgUcaRiaadIgadaah
% aaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaacqGH9aqpcaWG4bWaaWbaaSqabeaaca
% aIYaaaaOGaey4kaSIaaGOmaiaadIhacqGHRaWkcaaIYaaabaaabaWa
% aCbeaeaaciGGSbGaaiyAaiaac2gacaWGNbGaaiikaiaadIhacaGGPa
% Gaeyypa0daleaacaWGObGaeyOKH4QaaGimaaqabaGcdaWcaaqaaiab
% gkHiTiaaiodacaGGOaGaamiEaiabgUcaRiaadIgacaGGPaGaey4kaS
% IaaGymaiabgkHiTiaacIcacqGHsislcaaIZaGaamiEaiabgUcaRiaa
% igdacaGGPaaabaGaamiAaaaaaeaacqGH9aqpdaWcaaqaaiabgkHiTi
% aaiodacaWG4bGaeyOeI0IaaG4maiaadIgacqGHRaWkcaaIXaGaey4k
% aSIaaG4maiaadIhacqGHsislcaaIXaaabaGaamiAaaaaaeaacqGH9a
% qpcqGHsislcaaIZaaabaaabaGaeyypa0JaeyOpa4ZaaCbeaeaaciGG
% SbGaaiyAaiaac2gaaSqaaiaadIgacqGHsgIRcaaIWaaabeaakiaadc
% hacaGGOaGaamiEaiaacMcacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadIhadaahaaWc
% beqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaaIYaGaamiEaiabgUcaRiaaikdaae
% aacqGHsislcaaIZaaaaaaaaa!FFBD!
\[
\begin{array}{l}
p(x) = x^3 - 3x + 1 \\
\\
f(x) = x^3 \vee g(x) = - 3x + 1 \\
\mathop {\lim f(x)}\limits_{h \to 0} = \frac{{(x + h)^3 - x^3 }}{h} \\
\\
= \frac{{(x + h)(x + h)^2 - x^3 }}{h} \\
= \frac{{(x + h)(x^2 + 2h + h^2 ) - x^3 }}{h} \\
= \frac{{x^3 + 2hx + xh^2 + hx^2 + 2h + h^3 - x^3 }}{h} \\
= \frac{{2hx + 2h + xh^2 + hx^2 + h^3 }}{h} \\
= 2x + 2 + xh + x^2 + h^2 \\
= x^2 + 2x + 2 \\
\\
\mathop {\lim g(x) = }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 3(x + h) + 1 - ( - 3x + 1)}}{h} \\
= \frac{{ - 3x - 3h + 1 + 3x - 1}}{h} \\
= - 3 \\
\\
= > \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} p(x) = \frac{{x^2 + 2x + 2}}{{ - 3}} \\
\end{array}
\]

Ahahahha, lol :D det stemmer jo ik hvad der står i mathtype manualen.

$$
\eqalign{
& p(x) = x^3 - 3x + 1 \cr
& \cr
& f(x) = x^3 \vee g(x) = - 3x + 1 \cr
& \mathop {\lim f(x)}\limits_{h \to 0} = {{(x + h)^3 - x^3 } \over h} \cr
& \cr
& = {{(x + h)(x + h)^2 - x^3 } \over h} \cr
& = {{(x + h)(x^2 + 2h + h^2 ) - x^3 } \over h} \cr
& = {{x^3 + 2hx + xh^2 + hx^2 + 2h + h^3 - x^3 } \over h} \cr
& = {{2hx + 2h + xh^2 + hx^2 + h^3 } \over h} \cr
& = 2x + 2 + xh + x^2 + h^2 \cr
& = x^2 + 2x + 2 \cr
& \cr
& \mathop {\lim g(x) = }\limits_{h \to 0} {{ - 3(x + h) + 1 - ( - 3x + 1)} \over h} \cr
& = {{ - 3x - 3h + 1 + 3x - 1} \over h} \cr
& = - 3 \cr
& \cr
& = > \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} p(x) = {{x^2 + 2x + 2} \over { - 3}} \cr}
$$