løsning ag ligninger og uligheder

den rette linje:

1) delta_y/delta_x er konstant

rise/run = a

2) a = tan(v), hvor v er hældningsvinklen med x-aksen

3) lodrette linjer har ingen hældningskoefficient (delta_x=0)

4) vandrette linjer har hældningskoefficient 0

5) for linjer, der hverken er lodrette eller vandrette,
gælder

y = a1x + b1 og y = a2x + b2

hvis de er parallelle <=> a2 = a1

hvis de er ortogonale <=> a2 = -1/a1

den spidse vinkel, w, mellem linjerne er bestemt ved

w = tan^(-1)(|(a2-a1)/(1+a1*a2)|)


punkt-hældningsformel: (y-yo) = a(x-xo)

to-punktsformel: (y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)

akseskæringsformel: x/u + y/v = 1

normalformel: Ax + By + C = 0

kartesisk normalform: y = ax + b


akseskæring:
y = ax + b omskrevet til akseskæringsform:

-ax + y = b ... du dividerer med b

(-a/b)x + y/b = 1 ... eller

x/(-b/a) + y/b = 1

skæring med x-aksen dvs. y=0
x = -b/a, da tæller og nævner er lige store, når brøken er lig med 1

skæring med y-aksen dvs. x=0
y = b, da tæller og nævner er lige store, når brøken er lig med 1

linjeskæring:

y1 = a1x + b1 og y2 = a2x + b2

skæring:

y2 = y1 ... eller

a2x + b2 = a1x + b1 ... x isoleres

(a2-a1)x = (b1-b2)

x = (b1-b2)/(a2-a1)

y = a1*((b1-b2)/(a2-a1)) + b1
eller
y = a2*((b1-b2)/(a2-a1)) + b2

2.gradspolynomiet:

se
http://www.peecee.dk/index.php?id=45838


2.gradsligning:
der kan være tale om to beviser, fordi mange har problemer med kvadratkompletteringen. Man kan så vælge det, som lettest "glider ned":

1)
ax^2 + bx + c = 0

gang igennem med 4a:

4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0

(2ax)^2 +2*(2ax)*b + 4ac = 0

(2ax)^2 +2*(2ax)*b = (2ax+b)^2 - b^2, hvoraf

(2ax+b)^2 - b^2 + 4ac = 0 ... (2ax+b)^2 isoleres

(2ax+b)^2 = b^2 - 4ac = d

|2ax+b| = sqr(d)

2ax+b = +/-sqr(d)

2ax = (-b+/-sqr(d))

x = (-b+/-sqr(d))/(2a)



2)
ax^2 + bx + c = 0 ... divider med a

x^2 + (b/a)x + c/a = 0

x^2 + 2(b/(2a))x + c/a = 0 ... her er x^2 + 2(b/(2a))x = (x + b/(2a))^2 - b^2, hvoraf

(x + b/(2a))^2 - (b/(2a))^2 + c/a = 0 ... (x + b/(2a))^2 isoleres

(x + b/(2a))^2 = (b/(2a))^2 - c/a = b^2/(4a^2) - 4ac/(4a^2)

(x + b/(2a))^2 = [b^2-4ac]/(2a)^2 = d/(2a)^2

|x + b/(2a)| = sqr(d/(2a)^2)

x + b/(2a) = +/-sqr(d)/(2a) ... x isoleres

x = - b/(2a) +/-sqr(d)/(2a)... eller

x = (-b +/-sqr(d))/(2a)

linje-parabel-skæring:

l: y = hx + q og P: y = ax^2 + bx + c

skæring
ax^2 + bx + c = hx + q ... der reduceres
til

ax^2 + (b-h)x + (c-q) = 0, der med diskriminanten

d = (b-h)^2- 4*a*(c-q)
giver

1) d<0 ... ingen skæring ... l er passant

2) d=0 ... ét skæringspunkt ... l er tangent

3) d>0 ... to skæringspunkter ... l er sekant

hvis d >/=0:

findes løsning(er)

x = [-(b-h)+/-sqr(d)]/()2a), hvor d = (b-h)^2- 4*a*(c-q)

x = [-(b-h)+/-sqr(d)]/()2a)

-->

x = [-(b-h)+/-sqr(d)]/(2a)