Opstille differential-ligning

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. juni 2007 af ibibib (Slettet)

1/N·dN/dt = ax+b
Benyt tabellens tal til at bestemme a og b (Regression).
Løs derefter differentialligningen.

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. juni 2007 af Erik Morsing (Slettet)

#1
skal der ikke stå a*t+b ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. juni 2007 af DeciMat (Slettet)

Jeg har noget der ligner samme problemstilling her, håber det hjælper.
http://www.andre.acu-aarhus.dk/215/gsk/1w_MA_F04/Materiale/Opgavebesvarelser/Eksamensopg/A_4048.pdf

Svar #4
04. juli 2007 af faeces (Slettet)

Er N det samme som N(t) i formlen for den relative væksthastighed?
og er N(t) et udtryk for antallet af dyr til tiden t?

.......

Altså så formlen lyder

1/N · dN/dt = 1/N(t) · dN/dt

??

Jeg antager altså nu at 1/N·dN/dt = at+b

og skal så finde værdierne for a og b.

Nå, men jeg har via Graph 4.0 fundet frem til - via

indtastning af punktserien

x ---- Y

4 -- 0.23
5 -- 0.21
6 -- 0.203
7 -- 0.191
8 -- 0.171
9 -- 0.167
10 - 0.152

at

a = -0.012571429

og

b = 0.27714286

således at den liniære funktion bliver

y = -0.012571429·t + 0.27714286

efter indsættelse af lineær tendenslinie.

Er svaret på spørgsmål a) således:

f(t) = -0.012571429·t + 0.27714286 ?

Hvordan kommer jeg videre og bestemmer
den ønskede differentialligning i spm. b)?

Er der tale om logistisk vækst

y' = y(b - ay)

Eller semilogistisk vækst ligefrem?

y' = b - ay

Men jeg synes hverken jeg kan få den ene eller den anden frem
udfra

1/N·dN/dt = at+b

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. juli 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Prøv at tænke på det på denne her måde: Du har en population N(t), som ændrer sig med tiden. Det skriver man som dN(t)/dt. (den differentielle ændring pr. tidsenhed) Det er altså en lille ændring over en lille tid.
Man finder nu ekperimentelt ud af, på hvilken måde denne population ændrer sig, og den viser sig at være:
N*t + No, hvor No er populationen til tiden = sek.

Nu sætter du:
N(4) = 0,23
N(5) = 0,21 Du sætter så mange værdier ind, som du skal bruge for at finde forskriften.

Nu gør jeg lige det samme og så ser vi, hvad det bliver.

Lige et par ting:

1) en ændring er dN(t)/dt
2) en procentvis ændring er dN(t)/dt*100
3) en relativ ændring er 1/N*(dN(t)/dt

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. juli 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Vil lige sige:
dt er forskellen i tid, altså 0,21-0,23 = 0,02. Det ses, at populationen aftager med tiden. Det kunne være dyr på en øde ø, hvor fødegrundlaget svinder. Det er altid rart at forestille sig nogle enhederm, så vi ved, hvad vi snakker om.

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. juli 2007 af Erik Morsing (Slettet)

rettelse: dt er blot 1 enhed

Brugbart svar (0)

Svar #8
04. juli 2007 af Erik Morsing (Slettet)

formlen er N(t) = No*e^(-a*t).
Det er ikke funktionen, der er lineær, det er den relative væksthastighed: 1/N*dN(t)/dt

Du ved nu at N(7) = No*e^(-7*a)

Du skal så finde No og a

Svar #9
04. juli 2007 af faeces (Slettet)

", og den viser sig at være:
N*t + No, hvor No er populationen til tiden = sek. "

Hvordan finder du ud af at

formlen er

N(t) = No*e^(-a*t). ?

...

"Du ved nu at N(7) = No*e^(-7*a)

Du skal så finde No og a "

Vi ved at N(7) = 780

dvs No*e^(-7*a) = 780

men står vi så ikke med én ligning med 2 ubekendte?

Brugbart svar (0)

Svar #10
04. juli 2007 af Erik Morsing (Slettet)

jeg får:
N(t) = 244^*exp(-0,02*t^2+0,31*t)

Men det skal sige, at jeg ikke har beskæftiget mig med matematikken siden jeg forlod universiteten, og det er 35 år siden nu, så jeg kan godt have glemt meget.

Brugbart svar (0)

Svar #11
04. juli 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Vi har givet at dN(t)/dt*(1/N) = a*t+b
Det kan skrives som
1/N*dN = (a*t+b)*dt, og så integrerer jeg på begge sider af ligningen og får
ln(N) = 1/2*â*t^2+b*t+c og dermed

N(t) = No*exp(1/2*a*t^2+b*t+c)

Du har nu 4 ubekendte, som du skal bestemme:
a,b,c og No
Du ved at N(7) = 780 dyr, det sætter du ind i ligningen.

Brugbart svar (0)

Svar #12
04. juli 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Du skulle lige prøve at plotte samhørende værdier at t og den relative væksthastighed ned på et stykke papir og se, om værdierne kan opfattes som tilhørende en ret linie.
Hvis de kan det, behøver du jo kun 2 punkter til at bestemme linien.

Svar #13
04. juli 2007 af faeces (Slettet)

Tak for hjælpen Erik!
Det var fint.
Jeg kan se, at der skal bruges separation af variable.

I mit indlæg #4 har jeg for at finden liniens ligning gjort følgende:

Via Graph 4.2 har jeg indtastet punktserien

t -- 1/n*dN/dt

4 -- 0.23
5 -- 0.21
6 -- 0.203
7 -- 0.191
8 -- 0.171
9 -- 0.167
10 - 0.152

og fået

a = -0.012571429

og

b = 0.27714286

således at den liniære funktion bliver

y = -0.012571429·t + 0.27714286

efter indsættelse af lineær tendenslinie.

Graph 4.2 er et glimrende værktøj til bla graf-tegning og
opsøgning af tendenslinier af forskellig art.
Kan downloades gratis på www.padowan.dk/graph/

Jeg får vha sep. af var:

1/N(t) * dN(t)/dt = a*t+b

1/N(t) * dN(t) = ( a*t+b )dt

S(1/N(t) ) dN(t) = S( a*t+b )dt

S(1/N)dN = S( a*t+b )dt

ln(N) = a/2*t^2 + bt + k

e^(ln(N)) = e^(a/2*t^2 + bt + k)

N = e^(a/2*t^2 + bt + k)

dvs

N(t) = e^(a/2*t^2 + bt + k)

...

Med N(7) = 780 kan vi forhåbentlig bestemme k (a og b er jo allerede bestemt, vi kan blot lade dem være som hhv a og b):

N(7) = 780 (dvs t = 7).

780 = e^(a/2*t^2 + bt + k)

780 = e^(a/2*t^2) * e^bt * e^k

780/(e^(a/2*t^2) * e^bt) = e^k

k = ln(780/(e^(a/2*t^2) * e^bt))

k = ln(780/(e^(a/2*7^2) * e^(7b)))

k = ln(780/(e^(-0.012571429 /2*7^2) * e^(7*0.27714286 )))

k = 5.02729391

Jeg har således bestem regneforskriftenfor N(t) til at være

N(t) = N(t) = e^(a/2*t^2 + bt + k)

hvor a, b og k er hhv

a = -0.012571429

b = 0.27714286

k = 5.02729391

Har vi så besvaret alle spørgsmål?

Brugbart svar (0)

Svar #14
04. juli 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Ja, nu tror jeg vi har hul på den.
For øvrigt: Når man har sådan et skema med et sæt af samhørende værdier, kan man (blandt andre) bruge Lagranges (n+1)-punkts-interpolationsformel til at finde en vilkårlig værdi. Man kan så se, om de ligger på en ret linie, altså om funktionen er lineær, som det hævdedes i opgaven.

Et eksempel:
x 9,0 9,5 10,0 11,0
f(x) 2.19 2.35 2,30 2,39

Så kan man finde (9,2, f(x))

Her har jeg brugt f(x) = ln(x)

Lige til sidst: Du må aldrig have flere betydende ciffre med, end der er opgivet i opgaven, for eksempel tallet 3,19 har tre betydende cifre. Du har alt for mange ciffre med. Se i opgaven, hvor mange, der er opgivet!

Brugbart svar (0)

Svar #15
05. juli 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Du kan lige få denne her med:

En meget vigtig funktion, der beskriver exponentiel vækst (positiv eller negativ) er funktionen:
f(t) = C*e^(k*t), der tilfredsstiller differentialligninger: df(t)/dt = k*f(t). Med ord siger sidstnævnte, at funktionsændringen over tid er proportional med mængden f(t).
En bakteriekultur med adgang til tilstrækkelig næring, en investering med jævnligt tilskrevne renter, en klump radioaktivt materiale, en befolkning og mange andre ting er eksempler på exponentiel vækst (positiv eller negativ, man siger også h.h.v. growth and decay). Så skulle du støde på den en anden gang, så kender du løsningen.

Her har jeg ikke behandlet logistisk vækst, det kan vi tage en anden gang.

Brugbart svar (0)

Svar #16
26. oktober 2008 af 1337EMIL (Slettet)

Okay, jeg har ikke lige checket alle svarene igennem, og du har sikkert løst den her opgave for længst, men her er hvordan du skal gøre (kræver lidt du har TI Interactive, da det er det program vi bruger på min skole). Så hvis du ikke har Ti Interactive, vil det næste jeg skriver nok ikke give så meget mening :)

Hvis du har TI Interactive:

Lav et skema (dvs. 'list') med henholdsvis tid og den relative væksthastighed. Kald derefter kolonnen med værdierne for tid for 'tid', og kolonnen med relativ væksthastighed for 'RV'. Lav derefter en mathbox, hvor du skriver: LinReg(tid,RV,f(t))

Herefter skulle den gerne sige "done", og du har en funktion f(t), altså f som funktion af tiden t. Hvis du vil se funktionen laver du en ny mathbox og skriver 'f(t)'

Det var a'eren.

b'eren kan du derefter løse, da du allerede ved hvordan den relative væksthastighed er defineret (Det allerførst der står i opgaven). Du kan altså sætte det op sådan her:

1/N * N' = f(t)

Her er N' differentialfunktionen til N. Skriv det ind i en mathbox, og isoler derefter N' - hvis du ikke kan finde ud af det så skriv (i Mathbox): Solve(1/N * dN = f(t),dN), hvor dN er det samme som N' (Ti fatter bare ikke hvis man skriver N')

Derefter skulle du gerne få en differentialligning, og dermed er opgaven løst :)

c'eren er nu ret let, da du har et punkt og en differentialligning, som 'bare' skal løses. Med Ti er det ret let:

Skriv i mathbox: Desolve(N' = -0.012571*N*(t - 22.0455) and N(7)=780,t,N)

- Så skulle du gerne få en forskrift for N, og det var jo det man skulle :)

Matematik

Skriv et svar til: Opstille differential-ligning