Fysik

Gravitational potential energy

12. august 2007 af chrisjorg (Slettet)

Hej, jeg sidder og leger lidt med noget mekanik. Jeg vil gerne gå fra formlen E_p=-(GMm)/R_0 til formlen E_p=mgh.

Ved jordens overflade defineres R_0, og en lille smule over overfladen R_o + h, hvor h <<< R_0.

Jeg mener at jeg bør tilnærme ved hjælp af Taylorpolinomiet af første orden. Mener i jeg bør finde Taylorrækken af E_p=-(GMm)/(R_0+h) ??

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. august 2007 af peter lind

Dette er absolut en mulighed, selv om jeg godt nok synes det er nemmere bare at bruge mgh

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Hvis en partikel løftes fra R til R+h, så kommer du frem til en formel med (1+h/R)^-2, så du skal anvende binomialekspansionen.

Svar #3
12. august 2007 af chrisjorg (Slettet)

Ja men formålet er jo netop at udlede E_p=mgh.

Jeg ved godt at de fleste gymnasielever blindt bruger mgh uden at kende til dets begrænsninger, men sådan synes jeg ikke det skal være.

Ok, hvad med følgende måde: **Ep() udtrykker gravitational potential energy som en funktion af en vis afstand og er IKKE en multiplikation**

deltaEp = Ep(R_0 + h) - Ep(R_0) = -(GMm)/(R_0+h) - [-(GMm)/(R_0)]
= (GMmh)/(R_0(R_0+h) ***

På overfladen af jorden gælder F=mg=GMm/(R_0)^2, hvilket med omskrivning kan udtrykkes som GM=g(R_0)^2

Hvis vi indsætter dette i *** får vi:
deltaEp =(g(R_0)^2)mh)/(R_0(R_0+h)) = (g(R_0)mh)/(R_0+h)) = (gmh)/(1+h/(R_0))
= mgh[1/(1+h/(R_0)]

Haha! Dette er mgh(1/(1+x))

Taylorpolynomiet af første orden ved x=0 (altså ved jordens overflade) af 1/(1+x) er 1 - x + x^2 - ... + (-1)^(2n+1)(x)
Vi vælger at tage det første term af polynomiet, altså 1, og hermed fås deltaEp = mgh(1) = mgh.

Svar #4
12. august 2007 af chrisjorg (Slettet)

#2, spændende, hvordan ville man nå det udtryk?

Svar #5
12. august 2007 af chrisjorg (Slettet)

Rettelse:

Taylorpolynomiet af første orden ved x=0 (altså ved jordens overflade) af 1/(1+x) er 1 - x + x^2 - ... + (-1)^n(x), hvor n=[0, 1, 2, 3.... [

Svar #6
12. august 2007 af chrisjorg (Slettet)

Hvad angår brugen af Taylorpolinomiet i min argumentation, kunne man ikke lade være med at bruge Taylor og blot argumentere, at i formlen Ep= mgh[1/(1+h/(R_0)]

da h <<< R_0 går h/(R_0) imod nul, og derfor bliver
Ep= mgh[1/(1+h/(R_0)]=mgh

Er det ikke af samme grund, at formlen Ep=mgh kun må bruges når h er rigtig, rigtig lille?

Brugbart svar (0)

Svar #7
12. august 2007 af Erik Morsing (Slettet)

I nævneren: (R+h)^2, der omskrives til R^2(1+h/R)^2, så
GM=(1+(-2)*h/R+...)

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. august 2007 af Riemann

#6
Det er fint at se det således. Smartere er det måske i virkeligheden at antage fra starten at g er konstant, så |F|= mg og at [arbejde] = [kraft]*[vej]

Hermed bliver arbejdet F*h = mgh

Den fysiske antagelse er jo at g er konstant, så man kan lige så godt gøre det klart fra starten.

#3
Din 0'e ordens rækkeudvikling er kun god hvis x<<1 (dvs., x tæt på 0), hvilket du jo også selv skirver i #6.

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. august 2007 af Riemann

#8
Jeg bør lige informere dig om, at når jeg skriver rækkeudvikling mener jeg en taylorudvikling (normalt kalder fysikere en taylorudvikling for en rækkeudvikling - spørg mig ikke hvorfor!)...

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. august 2007 af Darwin (Slettet)

E_pot= GMm/r

Lad r være R + h, hvor h<<R og R er (Jordens) radius

E_pot= GMm/r = GMm(R^-1)(1+h/R)^-1

og idet (1+x)^n = 1 + nx for meget lille x da

E_pot= -GMm/R - GMmh/R^2

Første del er en konstant og kan ignoreres (du bestemmer nulpunktet!).
GM/R^2 er ca. g (prøv selv).

Brugbart svar (0)

Svar #11
13. august 2007 af Darwin (Slettet)

NB første formel skal tilføjes et minus. Således bliver E_pot = mgh som ønsket.

Skriv et svar til: Gravitational potential energy

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.