Matematik

Den logistiske ligning

10. oktober 2007 af Malfoy (Slettet)

Hurtig hjælp:

En population af mus udvikler sig, så antallet afmus y som funktion af tiden t kan beskrives ved differentialligningen:

((dy)/(dt)) = ay(2000-y)

På det tidspunkt, hvor der er 600 mus, er væksthastigheden 20.

a) Bestem konstanten a.

b) Bestem en forskrift for y.

c) Forklar, hvordan antallet af mus vil udvikle sig ove rlang tid.

Malfoy

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. oktober 2007 af Benjamin. (Slettet)

Hints:

a) dy/dt er y´ dvs. væksthastigheden. Du har altså givet:
y = 600 og y´ = 20

b) Løsningen til den logistiske differentialligning ...?

c) Brug resultater fra b). Se evt. en graf. for y.

Svar #2
11. oktober 2007 af Malfoy (Slettet)

#1)

a) Skal jeg så bare isolere a således:

20 = a * 600 * (2000-600)

20 = a * 600 * 1400

20 = a * 840000

((20)/(840000)) = a

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. oktober 2007 af Benjamin. (Slettet)

#2 Ja.

Svar #4
11. oktober 2007 af Malfoy (Slettet)

b) Løsningen til den logistiske ligning er givet ved:

y = ((M)/(1+c*e^(-aMx))

Hvor:

M = 200
a = ((20)/(840000))
x = ?
c = ?

Malfoy

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. oktober 2007 af Benjamin. (Slettet)

#4 x er en variabel, c er en konstant (som kan betragtes som variabel, hvis ikke andet er oplyst), så du skal bare indsætte de værdier, M og a, du kender.

Var M ikke 2000?

Svar #6
11. oktober 2007 af Malfoy (Slettet)

Jeg er bare forvirret over at der står: Til tiden 0 er der 200 mus.

Kommer ligningen til at se såldes ud:

y = ((2000)/(1+c*e^(((20)/(840000))-2000x))

Svar #7
11. oktober 2007 af Malfoy (Slettet)

Har du opgivet med :o

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. oktober 2007 af Benjamin. (Slettet)

#5 Jeg glemte en rettelse: Variablen er t og ikke x, jf. #0.

#6 Den oplysning glemte du vist at skrive i #0.
Hvis der til tiden 0 er 200 mus, betyder det, at du kan udregne c.
I følgende udregner skriver jeg antallet af mus y som en funktion af tiden t: m(t)

Du har fundet funktionen (se lige løsningen for den logistiske differentialligning igen, du har lavet en lille fejl):
m(t) = 2000/(1+c·e^(-20/840000·2000t)) = 2000/(1+c·e^(-40000/840000t)) = 2000/(1+c·e^(-t/21))
Herudover har du nu:
m(0) = 2000/(1+c·e^(-0/21)) = 200
dvs.
2000/(1+c·e^(-0/21)) = 200
Isolér c.

Svar #9
11. oktober 2007 af Malfoy (Slettet)

Je isolerer c:

2000/(1+c·e^(-0/21)) = 200

2000 = 200 * (1+c·e^(-0/21))

((2000)/(200))=(1+c·e^(-0/21))

((2000)/(200))-(1) = c·e^(-0/21)

((((2000)/(200))-(1))/(c)) = e^(-0/21)

??

Svar #10
11. oktober 2007 af Malfoy (Slettet)

Jeg ligger mig til at sove nu. Kigger på det igen imorgen tidelig - før jeg skal i skole.
Håber jeg kan forstå det bedre der.

Malfoy

Skriv et svar til: Den logistiske ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.