Matematik
Differentialregning
11. oktober 2007 af
thegod117 (Slettet)
Hej.
Har lige løst opgaverne
232: "Opskriv en ligning for tangenten for f(x)=ax^2 i (x0,f(x0)). Bestem derefter koordinatet til tangentens skæringspunkt med x-aksen.
Vi betragter herefter grafen for funktionen f(x)=3x^2 og dens tangent i (7,f(7)). Bestem tangentens skæringspunkt med x-aksen."
236: "Opskriv en ligning for tangenten til grafen for f(x)=sqrt(x) i (x0,f(x0)).
Vis derefter, at tangenten skærer y-aksen i (0,1/2 f(x0)).
Sammenlign resultatet med det først resultat i opg. 232."
Har sagtens kunne lave begge opgaver, lige indtil jeg kom til der hvor jeg skal sammenligne resultaterne. Og jeg kan simpelthen ikke finde noget sammenhæng eller noget som jeg kan skrive ned.
Håber virkeligt der er en eller andet der kan hjælpe mig ud at kniben her...
Mine løsninger og mathcad udregninger er uploadet her:
http://peecee.dk/index.php?lid=1&aid=1&pid=2&loadid=72550&noresize=yes
Men er rimeligt sikker på at resultaterne er korrekte, så det er ikke dem i skal regne efter :-P
På forhånd tak for hjælpen.
Har lige løst opgaverne
232: "Opskriv en ligning for tangenten for f(x)=ax^2 i (x0,f(x0)). Bestem derefter koordinatet til tangentens skæringspunkt med x-aksen.
Vi betragter herefter grafen for funktionen f(x)=3x^2 og dens tangent i (7,f(7)). Bestem tangentens skæringspunkt med x-aksen."
236: "Opskriv en ligning for tangenten til grafen for f(x)=sqrt(x) i (x0,f(x0)).
Vis derefter, at tangenten skærer y-aksen i (0,1/2 f(x0)).
Sammenlign resultatet med det først resultat i opg. 232."
Har sagtens kunne lave begge opgaver, lige indtil jeg kom til der hvor jeg skal sammenligne resultaterne. Og jeg kan simpelthen ikke finde noget sammenhæng eller noget som jeg kan skrive ned.
Håber virkeligt der er en eller andet der kan hjælpe mig ud at kniben her...
Mine løsninger og mathcad udregninger er uploadet her:
http://peecee.dk/index.php?lid=1&aid=1&pid=2&loadid=72550&noresize=yes
Men er rimeligt sikker på at resultaterne er korrekte, så det er ikke dem i skal regne efter :-P
På forhånd tak for hjælpen.
Svar #1
12. oktober 2007 af sigmund (Slettet)
I den første opgave er funktionsforskriften f1(x) = a*x², og tangenten i (x0,f1(x0)) skærer x-aksen i (x0/2,0). I den anden opgave er funktionsforskriften f2(x) = x^(1/2), og tangenten i (x0,f2(x0)) skærer y-aksen i (0,f2(x0)/2). Men det ses også at x0/2 netop er {1/a^(1/2)}*f2(x0)/2. Er a=1, står der netop f2(x0)/2. Således kan skæringspunktet med x-aksen i den første opgave, i tilfældet a=1, skrives som ( f2(x0)/2 , 0 ). Kan du se det?
Svar #2
12. oktober 2007 af mathon
232.
f'(x) = 2ax
y - f(xo) = 2axo(x-xo) eller y = 2axo*x + (f(xo)-2axo^2)
skæring med x-aksen:
0 = 2axo*x + (f(xo)-2axo^2)
2axo*x = 2axo^2 - axo^2
x = xo - xo/2 = 0,5*xo
skæringspunkt (0.5*xo;0)
f(x) = 3x^2
f'(x) = 3*2*x = 6x
f(7) = 147 og f'(7) = 42
tangent:
y = 2axo*x + (f(xo)-2axo^2)
y = 42*x + (147-42*7)
y = 42*x - 147
236.
y = f(x)=sqrt(x)
f'(x) = 1/(2sqr(x))
tangentligning:
y-sqr(xo) = 1/(2sqr(xo)(x-xo)
tangentskæring med y-aksen
y-sqr(xo) = 1/(2sqr(xo)(0-xo)
y-sqr(xo) = -xo/(2sqr(xo)
y = -xo/(2sqr(xo) + sqr(xo)
y = -xo/(2sqr(xo) + 2*sqr(xo)sqr(xo)/(2sqr(xo)
y = -xo/(2sqr(xo) + 2*xo/(2sqr(xo)
y = xo/(2sqr(xo)
y = xo*sqr(xo)/(2xo)
y = sqr(xo)/2 = 0,5*f(xo)
skæringspunkt (0;0,5*f(xo))
for a=1 gælder
f(x)= x^2 og g(y)= sqr(y) er hinandens omvendte funktioner
g(y) = g(f(x)) = g(x^2) = sqr(x^2) = x
i et koordinatsystem vil dette kunne eftervises ved at tegne y=x^2 i 1. kvadrant. Halvparablen er samtidig kurve for funktionen g(y) = sqr(x^2)= x
dette kan også - hvis man ønsker begge funktioner skrevet som en funktion af x - udtrykkes således:
f(x) = x^2 og g(x) = sqr(x)
ved en spejling i linjen y = x - vinkelhalveringslinjen i 1. kvadrant føres grafen for f(x) over i grafen for g(x) og omvendt.
Ved en spejling i linjen y = x bytter x og y plads:
1) det, der var x- akse, bliver y-akse
2) det, der var x-akse-skæring (0.5*xo;0), bliver y-akse-skæring (0;0.5*yo) = (0;0.5*f(xo))
f'(x) = 2ax
y - f(xo) = 2axo(x-xo) eller y = 2axo*x + (f(xo)-2axo^2)
skæring med x-aksen:
0 = 2axo*x + (f(xo)-2axo^2)
2axo*x = 2axo^2 - axo^2
x = xo - xo/2 = 0,5*xo
skæringspunkt (0.5*xo;0)
f(x) = 3x^2
f'(x) = 3*2*x = 6x
f(7) = 147 og f'(7) = 42
tangent:
y = 2axo*x + (f(xo)-2axo^2)
y = 42*x + (147-42*7)
y = 42*x - 147
236.
y = f(x)=sqrt(x)
f'(x) = 1/(2sqr(x))
tangentligning:
y-sqr(xo) = 1/(2sqr(xo)(x-xo)
tangentskæring med y-aksen
y-sqr(xo) = 1/(2sqr(xo)(0-xo)
y-sqr(xo) = -xo/(2sqr(xo)
y = -xo/(2sqr(xo) + sqr(xo)
y = -xo/(2sqr(xo) + 2*sqr(xo)sqr(xo)/(2sqr(xo)
y = -xo/(2sqr(xo) + 2*xo/(2sqr(xo)
y = xo/(2sqr(xo)
y = xo*sqr(xo)/(2xo)
y = sqr(xo)/2 = 0,5*f(xo)
skæringspunkt (0;0,5*f(xo))
for a=1 gælder
f(x)= x^2 og g(y)= sqr(y) er hinandens omvendte funktioner
g(y) = g(f(x)) = g(x^2) = sqr(x^2) = x
i et koordinatsystem vil dette kunne eftervises ved at tegne y=x^2 i 1. kvadrant. Halvparablen er samtidig kurve for funktionen g(y) = sqr(x^2)= x
dette kan også - hvis man ønsker begge funktioner skrevet som en funktion af x - udtrykkes således:
f(x) = x^2 og g(x) = sqr(x)
ved en spejling i linjen y = x - vinkelhalveringslinjen i 1. kvadrant føres grafen for f(x) over i grafen for g(x) og omvendt.
Ved en spejling i linjen y = x bytter x og y plads:
1) det, der var x- akse, bliver y-akse
2) det, der var x-akse-skæring (0.5*xo;0), bliver y-akse-skæring (0;0.5*yo) = (0;0.5*f(xo))
Svar #3
12. oktober 2007 af thegod117 (Slettet)
Skide godt, nu forstod jeg det :-)
Tog godt nok lige lidt til før jeg fik det drejet rigtigt, men nu tror jeg at jeg har fat på den.
Mange tak for hjælpen til jer begge.
Tog godt nok lige lidt til før jeg fik det drejet rigtigt, men nu tror jeg at jeg har fat på den.
Mange tak for hjælpen til jer begge.
Skriv et svar til: Differentialregning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.