Tangenter til cirklen

l: 3x - 4y - 4 = 0
med normalvektor [3;-4]

linjen m parallel med l gennem C(-2;3) har ligningen

vektor_[3;-4]*vektor_[x-(-2);y-3]=0, dvs.

3(x+2)+(-4)(y-3)=0

3x-4y+18=0

tangent_1 udgøres af mængden af punkter i afstanden +6 fra denne,
hvoraf

dist(m,P(x,y)) = (3x-4y+18)/sqr(3^2+(-4)^2) = (3x-4y+18)/5
og
(3x-4y+18)/5 = 6 eller y = (3/4)x - 3


tangent_2 udgøres af mængden af punkter i afstanden -6 fra denne,
hvoraf

(3x-4y+18)/5 = -6 eller y = (3/4)x + 12

#0:
Hint 1: omskriv linjens ligning, så den kommer på formen y = ax+b.
Hint 2: parallelle linjer har samme hældningskoefficient.

Hm, jeg kan ikke få det til at passe helt.

Det jeg har gjort er:

Hvis tangenterne er parallele med linjen så må de have samme a og b led, så jeg skal altså bestemme c-leddet for tangenterne 3x - 4y + = 0

Da jeg ved at tangenterne tangerer cirklen, er længden mellem dem 6, dvs. centrum i cirklen.

Så bruger jeg distformlen til at isolere c:
6 = |3*-4 + -4*3 + c|/sqrt(3^2+(-4)^2) <=> c = -12 og 48

Hvad gør jeg forkert?

Kan du ikke forklare hvorfor det er -12, som lommeregneren giver som output?

Jeg får det nemlig til
30 = |-18+c| <=>
30 ± 18 = c <=>
c = 48 v c = 12

(3x-4y+18)/5 = 6
3x - 4y + 18 = 30
3x - 4y - 12 = 0

og

(3x-4y+18)/5 = -6
3x - 4y + 18 = -30
3x - 4y + 48 = 0

i øvrigt er afstanden mellem tangenterne 12 = 2*r = 2*6

Jeg forstår ikke din metode - har ikke haft om vektorer!

Jeg får vist hjælp af en ven her i morgen, så lige meget :)

...alternativt

3x-4y-4 = 0

4y = 3x-4

y = (3/4)x-1 med hældningskoefficient 3/4

(x+2)^2 + (y-3)^2 = 6^2 løst med hensyn til y spalter op i to:

øvre halvcirkel:
f1(x) = y = 3+sqr(36-(x+2)^2)
med
f1'(x) = 1/(2sqr(36-(x+2)^2))*(-2(x+2)) = -(x+2)/sqr(36-(x+2)^2)

og

nedre halvcirkel:
f2(x) = y = 3-sqr(36-(x+2)^2)
med
f2'(x) = -1/(2sqr(36-(x+2)^2))*(-2(x+2)) = (x+2)/sqr(36-(x+2)^2)

beregning af røringspunkt på øvre halvcirkel:
f1'(xo1) = -(xo1+2)/sqr(36-(xo1+2)^2) = 3/4 = 0,75
-(xo1+2)/sqr(36-(xo1+2)^2) = 0,75
hvoraf

xo1 = -5.6
f1(xo1) = 3+sqr(36-(-5.6+2)^2) = 7.8



(x+2)^2 + (y-3)^2 = 6^2 løst med hensyn til y spalter op i to:

øvre halvcirkel:
f1(x) = y = 3+sqr(36-(x+2)^2)
med
f1'(x) = 1/(2sqr(36-(x+2)^2))*(-2(x+2)) = -(x+2)/sqr(36-(x+2)^2)

og

nedre halvcirkel:
f2(x) = y = 3-sqr(36-(x+2)^2)
med
f2'(x) = -1/(2sqr(36-(x+2)^2))*(-2(x+2)) = (x+2)/sqr(36-(x+2)^2)

beregning af røringspunkt på øvre halvcirkel:
f1'(xo1) = -(xo1+2)/sqr(36-(xo1+2)^2) = 3/4 = 0,75
-(xo1+2)/sqr(36-(xo1+2)^2) = 0,75
hvoraf

xo1 = -5.6
f1(xo1) = 3+sqr(36-(-5.6+2)^2) = 7.8

ligning for tangent_1, t_1
t_1: y-f1(xo1) = f1'(xo1)(x-xo1)
t_1: y-7.8 = 0,75(x-(-5.6)) eller y = 0,75x + 12


beregning af røringspunkt på nedre halvcirkel:
f2'(xo2) = (xo2+2)/sqr(36-(xo2+2)^2) = 3/4 = 0,75
(xo2+2)/sqr(36-(xo2+2)^2) = 0,75
hvoraf

xo2 = 1.6
f2(xo2) = 3-sqr(36-(1.6+2)^2) = -1.8

ligning for tangent_2, t_2
t_2: y-f2(xo2) = f2'(xo2)(x-xo2)
t_2: y-(-1.8) = 0,75(x-1.6)) eller y = 0,75x - 3

...alternativt efter nyredigering:

3x-4y-4 = 0

4y = 3x-4

y = (3/4)x-1 med hældningskoefficient 3/4

(x+2)^2 + (y-3)^2 = 6^2 løst med hensyn til y spalter op i to:

øvre halvcirkel:
f1(x) = y = 3+sqr(36-(x+2)^2)
med
f1'(x) = 1/(2sqr(36-(x+2)^2))*(-2(x+2)) = -(x+2)/sqr(36-(x+2)^2)

og

nedre halvcirkel:
f2(x) = y = 3-sqr(36-(x+2)^2)
med
f2'(x) = -1/(2sqr(36-(x+2)^2))*(-2(x+2)) = (x+2)/sqr(36-(x+2)^2)

beregning af røringspunkt på øvre halvcirkel:
f1'(xo1) = -(xo1+2)/sqr(36-(xo1+2)^2) = 3/4 = 0,75
-(xo1+2)/sqr(36-(xo1+2)^2) = 0,75
hvoraf

xo1 = -5.6
f1(xo1) = 3+sqr(36-(-5.6+2)^2) = 7.8

ligning for tangent_1, t_1
t_1: y-f1(xo1) = f1'(xo1)(x-xo1)
t_1: y-7.8 = 0,75(x-(-5.6)) eller y = 0,75x + 12


beregning af røringspunkt på nedre halvcirkel:
f2'(xo2) = (xo2+2)/sqr(36-(xo2+2)^2) = 3/4 = 0,75
(xo2+2)/sqr(36-(xo2+2)^2) = 0,75
hvoraf

xo2 = 1.6
f2(xo2) = 3-sqr(36-(1.6+2)^2) = -1.8

ligning for tangent_2, t_2
t_2: y-f2(xo2) = f2'(xo2)(x-xo2)
t_2: y-(-1.8) = 0,75(x-1.6)) eller y = 0,75x - 3

Mathon: Er centrum ikke C(2,-3) og ikke C(-2,3) som du skrev i første udlæg?

Hvis ja -giver det så ikke t1 = (3/4)x-12 og t2 = (3/4)x+3?

mathon: I dit svar #1 skriver du:

l: 3x - 4y - 4 = 0
med normalvektor [3;-4]

linjen m parallel med l gennem C(-2;3) har ligningen

vektor_[3;-4]*vektor_[x-(-2);y-3]=0, dvs.

3(x+2)+(-4)(y-3)=0

3x-4y+18=0

Når du sætter liniens vektor (3;.-4) ind i cirklens ligning, skal cirklens radius så ikke tages i betragtning? Altso, at der skal stå 3(x+2)+(-4)(y-3)=36 i stedet for lig med 0? Eller har jeg misforstået noget?