Matematik
Plan / linje & kuglensligning
29. november 2007 af
Brutuso (Slettet)
Hej.:)
Jeg sidder lidt fast i én Mat-A aflevering (intensiv supplering B-A).
Jeg har ligningen for et plan og paramenterfremstillingen for en linje. Jeg skal så finde skæringspunktet mellem linjen og planen. Jeg ved at jeg skal have indsat paramenterfremstilling i ligningen og isoleret t, men hvordan gøres det i praksis?
Dernæst skal jeg bestemme én ligning for en kugle med centrum i 1,-3,5, og som har planen som tangentplan. Hvordan finder jeg frem til det punkt, som jeg skal udregne R ud fra?
Jeg sidder lidt fast i én Mat-A aflevering (intensiv supplering B-A).
Jeg har ligningen for et plan og paramenterfremstillingen for en linje. Jeg skal så finde skæringspunktet mellem linjen og planen. Jeg ved at jeg skal have indsat paramenterfremstilling i ligningen og isoleret t, men hvordan gøres det i praksis?
Dernæst skal jeg bestemme én ligning for en kugle med centrum i 1,-3,5, og som har planen som tangentplan. Hvordan finder jeg frem til det punkt, som jeg skal udregne R ud fra?
Svar #1
29. november 2007 af sigmund (Slettet)
Det sidste først. Du har en formel for afstanden fra et punkt til en plan. Denne formel beregner den vinkelrette afstand. Så en kugle med centrum i (1,-3,5) må have en radius lig med afstanden fra punkt til planen, hvis planen skal tangere kuglen.
Så det første. Lad os sige, at planen har ligningen -5x+2y-3z=0, og du har givet en linje med parameterfremstilling (x,y,z) = (1,2,3) + t*(1,2,3). For at finde skæringspunktet mellem linje og plan, sætter du så x fra parameterfremstillingen, dvs. 1+t ind for x i planens ligning. Det samme gøres for y og z. Dermed får du én ligning, hvor t er den eneste ubekendte.
Så det første. Lad os sige, at planen har ligningen -5x+2y-3z=0, og du har givet en linje med parameterfremstilling (x,y,z) = (1,2,3) + t*(1,2,3). For at finde skæringspunktet mellem linje og plan, sætter du så x fra parameterfremstillingen, dvs. 1+t ind for x i planens ligning. Det samme gøres for y og z. Dermed får du én ligning, hvor t er den eneste ubekendte.
Svar #2
29. november 2007 af mathon
...og til sidst indsætte den fundne t-værdi i den rette linjes parameterudtryk for at beregne skæringspunktets koordinater.
hvis planen alfa har ligningen
ax + by + cz + d = 0, med normalvektor [a,b,c] opdeles rummet af planen i to halvrum
mængden af punkter som ligger i planens alfa's
positive halvrum
alfa_+:
dist(alfa_+,P(x,y,z)) = (ax + by + cz + d)/sqr(a^2+b^2+c^2)>0
og
mængden af punkter som ligger i planens alfa's
negative halvrum
alfa_-:
dist(alfa_-,P(x,y,z)) = (ax + by + cz + d)/sqr(a^2+b^2+c^2)<0
undersøg hvilken af de to halvplaner C(1,-3,5) ligger i
ligger C i alfa_+
gælder
(x-1)^2+(y+3)^2+(z-5)^2 = r^2 og r = (ax + by + cz + d)/sqr(a^2+b^2+c^2)
ligger C i alfa_-
gælder
(x-1)^2+(y+3)^2+(z-5)^2 = r^2 og r = -(ax + by + cz + d)/sqr(a^2+b^2+c^2)
hvis planen alfa har ligningen
ax + by + cz + d = 0, med normalvektor [a,b,c] opdeles rummet af planen i to halvrum
mængden af punkter som ligger i planens alfa's
positive halvrum
alfa_+:
dist(alfa_+,P(x,y,z)) = (ax + by + cz + d)/sqr(a^2+b^2+c^2)>0
og
mængden af punkter som ligger i planens alfa's
negative halvrum
alfa_-:
dist(alfa_-,P(x,y,z)) = (ax + by + cz + d)/sqr(a^2+b^2+c^2)<0
undersøg hvilken af de to halvplaner C(1,-3,5) ligger i
ligger C i alfa_+
gælder
(x-1)^2+(y+3)^2+(z-5)^2 = r^2 og r = (ax + by + cz + d)/sqr(a^2+b^2+c^2)
ligger C i alfa_-
gælder
(x-1)^2+(y+3)^2+(z-5)^2 = r^2 og r = -(ax + by + cz + d)/sqr(a^2+b^2+c^2)
Svar #3
29. november 2007 af Brutuso (Slettet)
Jeg bukker og takker for jeres hjælp, det var lige hvad der skulle til..:)
Skriv et svar til: Plan / linje & kuglensligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.