Anden ordens differentialligning (fra løsning til ligning)

Hvis de to rødder i karakterligningen tilhører de reelle tal og r1 er forskellig fra r2, så får man en løsning til den homogene ligning på formen:

C1 * e^(r1 *x) + C2 * e^(r2 *x)

Dette er netop den form din løsning er på, og du kan derfor aflæse at rødderne til karakterligningen:

R^2 + aR + b = 0

er -3 og 2.

Nu kan du finde koefficienterne ved at betragte to ligninger med 2 ubekendte:


(-3)^2 + a*(-3) + b = 0
og
2^2 + a*2 + b = 0


Du får så løsningen:

a = 1
b = -6

Det var da utroligt at jeg har overset den metode / løsning. Det er givetvis måden at gøre det på. Tak for det :)

Her er den metode jeg prøvede at bruge:

Karakterligngen for differentiallignen
r^2 + ar + b = 0

Normal løsning for 2.-grads ligning
r = (-b + sqrt(d)) / (2a)

Løsningen opskrevet for karakterligningen (bemærk bruge af a og b)
r1 = (-a + sqrt(a^2 - 4b)) / 2 og r2 = (-a - sqrt(a^2 - 4b)) / 2

Nu førsøgte jeg at løse disse to ligninger, da jeg vidste at r1=2 og r2=-3, men det ville ikke lade sig gøre:

(-a - sqrt(a^2 - 4b)) / 2 = -3
(-a + sqrt(a^2 - 4b)) / 2 = 2

At løse de to ovenstående ligninger mht. a og b lod sig ikke gøre. Hvordan kan det være at de to metoder (din og min) som har visse fællestræk ikke begge to virker?


Wuhtzu

Det er helt rigtigt det du har gjort. Selvom det er lidt besværligt da vores a svarer til b i en normal 2. gradsligning, og b til c.

De to ligninger du ender op med er dog korrekte og kan godt løses.

Isoleres b af den første fås:

b = 3a - 9

Indsættes dette i den anden fås a = 1, og derfor er b:

b = 3*1 - 9
b=-6

Så din metode er altså korrekt, det må bare have gået galt i forbindelse med løsningen af de 2 ligninger med 2 ubekendte :)

Ja det må jeg have gjort... tak for det :)