Det karakteristiske polynomium - bevis

Hvis A er en matrix med egenvektoren v og egenværdien L, ved vi:
Av = Lv
Av-LIv = 0 (hvor I er enhedsmatricen)
(A-LI)v = 0

Vi skal komme frem til:
det(Av-LI) = 0

Vi skal altså vise, at (A-LI) IKKE er invertibel (har en invers matrix). (Hvis (A-LI) ER invertibel har den en determinant forskellig fra 0)

Jeg har antaget, at (A-LI) ER invertibel. Så ville vi få, hvis vi ganger med (A-LI)^(-1):
v = (A-LI)^(-1)*0
Og lige meget hvad, man ganger med 0, får man 0. Vi ved, at vores egenvektor ikke må være 0. Derfor kan vi konkludere, at (Av-LI) ikke er invertibel, og dens determinant er derfor lig 0.

Problemet er, at jeg har fået at vide, at jeg skal bruge produktreglen for determinanter:

1) det(A*B)=det(A)*det(B)

eller (omskrevet, hvis B = A^(-1))
2) det(A^(-1))=1/det(A)

Ved 1) ved vi, at hvis det(A) ikke = 0 og det(B) ikke = 0, så er det(A*B) ikke = 0.

Hvordan får jeg det ind i beviset??

På forhånd tak