Matematik

Matematik Svær ligning

25. januar 2008 af patrickmax (Slettet)

Hej jeg har arbejdet en del tid med denne parabel og kan ikke rigtigt få den til at gå op.

Det er den sidste opgave jeg mangler af 5 i en emneopgaver og den har virkelig voldt mig problemer så hvis nogen vil være så venlig at give et vejlenede løsnings forslag.

En parabel har ligningen f(x) = -x2+7x. idet at x0 [0;7] dannes en retvinklet trekant med hjørnerne A = (0,0), B = (x0, f(x0)) og C = (x0,0). Bestem det største areal af denne trekant med 8 decimaler, når du tydeligt skal forklare fremgangsmåden.

Bestem desuden med 4 decimaler den største længde af linkestykket |AB|

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. januar 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Linjestykket AC med længde x0 og linjestykket BC med længde f(x0) udgør kateterne i den retvinklede trekant. Derfor har trekanten arealet T = x0*f(x0) som nu skal optimeres med sædvanlige optimeringsmetoder (find nulpunkter for den afledte og find derved maksimum).

Længden |AB| kan bestemmes vha. Pythagoras, idet du kender længderne af kateterne som tidligere nævnt. Det udtryk med Pythagoras skal derfor optimeres.

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. januar 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Jeg kan godt blive mere konkret, men hvis dette er svar nok, er det jo fint ;)

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. januar 2008 af mathon

f(x) = -x^2 + 7x, og x€[0;7]
f'(x) = -2x+7
trekant areal

T(x) = 0,5*x*(f(x)) = 0,5*x*(-x2+7x) = -0,5x^3+3,5x^2

T'(x) = -1,5x^2+7x

ekstremumspunkt:

T'(x) = -1,5x^2+7x = 0 og x>0 (grafen er en grennedadvendende parabel)

-1,5x^2+7x = 0 og x>0

toppunktets 1.koordinat
x = (-b)/(2a) = (-7)/(2(-1,5)) = (-7)/(-3) = (7/3)

T_max = T(7/3) = -0,5*(7/3)^3+3,5*(7/3)^2 = 12,70370370

|AB|(x) = (x^2+(f(x))^2)^0,5

|AB|'(x) = 0,5*(x^2+(f(x))^2)^(-0,5)*(2x+2f(x)*f'(x))

|AB|'(x) = (x^2+(f(x))^2)^(-0,5)*(x+f(x)*f'(x))

som med
f(x) = -x^2+7x, og x€[0;7]
f'(x) = -2x+7

giver

|AB|'(x) = (x^2+(-x^2+7x)^2)^(-0,5)*(x+(-x^2+7x)*(-2x+7))

|AB|'(x) =(2x^2-21x+50)/(sqrt(x^2-14x+50))

af interesse er

|AB|'(x) =(2x^2-21x+50)/(sqrt(x^2-14x+50)) = 0

x^2-14x+50>0 for alle x, hvorfor (sqrt(x^2-14x+50)>0

|AB|'(x) = 0 for 2x^2-21x+50 = 0 og x€[0;7], hvilket giver

xo1 = 3,64922 og xo2 = 6,85078

|AB|(x) = (x^2+(f(x))^2)^0,5, hvoraf

|AB|(x) = (x^2+(-x^2+7x)^2)^0,5

|AB|(3,64922) = (3,64922^2+(-3,64922^2+7*3,64922)^2)^0,5 = 12,7607

|AB|(6,85078) = (6,85078^2+(-6,85078^2+7*6,85078)^2)^0,5 = 6,92663

|AB|_max er således 12,7607 (med 4 dec.)

Svar #4
28. januar 2008 af patrickmax (Slettet)

tak for hjælpen til alle :), fik også en del hjælp af en ven. men tak for hjælpen.

ps. har fundet svaret 8]

Skriv et svar til: Matematik Svær ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.