Matematik

Aritmetikkens

18. april 2008 af andersbm (Slettet)

Benyt aritmetikkens fundamentalsætning til at vise, at hvis n og m er hele positive tal uden nogen fælles divisor (på nær +/-1) (dette skrives sfd(n,m)=1), og n•m er et kvadtattal, d.v.s. at n•m=q2, så er n og m selv kvadrattal.

Skal jeg opløse dem i primfaktorer hver for sig og derved vise at de er hele tal uden nogen fælles divisor pånær +-1 og derefter gange dem sammen som jeg har gjort og derved er de kvadrat tal...altså:

n=q1*q2*q3*q4*qn
m=q1*q2*q3*q4*qm

Dette beviser at de er hele positive tal uden fællesdivisor pånær 1.
Dernæst

n*m = (q1*q2*q3*q4*qn*q1*q2*q3*q4*qm)^2 = q1^4*q2^4*q3^4*q4^4*qn^2*qm^2

Men så smutter beviset som skal bevise de er kvadrat tal? medmindre jeg så skal tage kvadratroden på begge side?

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. april 2008 af math-freak++ (Slettet)

Hvordan ved du at der er fem primfaktorer? De er taget fra den blå luft.

Svar #2
18. april 2008 af andersbm (Slettet)

det ved jeg heller ikke burde nok f.eks. havde skrevet qk...som sen afslutning derpå...

n = q1*q2*q3....qk
m = q1*q2*q3....qk

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. april 2008 af math-freak++ (Slettet)

Jeg har den!

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. april 2008 af math-freak++ (Slettet)

Fra aritmetikkens fundamentalsætning opløser vi de to naturlige tal entydigt med primfaktorne og da n og m er indbyrdes primiske er alle primtalene i n*m forskellige. Men da de skal give k^2 hvor K tilhører N, så bliver primfaktorne nødt til at være ens, fordi det skal kunne kvadreres.

Svar #5
18. april 2008 af andersbm (Slettet)

hvad mener du med at alle primtallene i n*m er forskellige?

SYntes ikke rigtig det forklarer at n og m er kvadrattal hver for sig?

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. april 2008 af math-freak++ (Slettet)

alle primtallene i n*m er forskellige.
n*m = p1*p2*...*pk * q1*q2*...*qs. Alle primtallene er forkellige, hvis du læser min argumentation.

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. april 2008 af math-freak++ (Slettet)

Jeg kan se at du allerede har oprettet det her indlæg før
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=501484
hvor Peter Lind gav dig et vink.

Svar #8
18. april 2008 af andersbm (Slettet)

Men det beviser bare at m*n er et kvadrat tal, men da ikke at de er det hver for sig? eller er jeg bare langsom i optrækket?

Svar #9
18. april 2008 af andersbm (Slettet)

Jeg forstår godt det han har skrevet....

Jeg skal opløse dem hver for sig:

m = p1*p2*p3....pm
n = q1*q2*q3....qn
Men det viser da ikke at de er kvadrat tal i mit hovede? Det er klart at m*n er et kvadrat tal, men ellers syntes jeg at jeg kører i ring.

Brugbart svar (0)

Svar #10
18. april 2008 af math-freak++ (Slettet)

Se her
n*m = p1*p2*...*pk * q1*q2*...*qs (Det er du med på?)
n*m = k^2, jamen så får vi at
p1^0,5*...*pk^0,5 * q1*0,5*...*qs^0,5 = k. Kan du se det nu. Vi skal i øvrigt bemærker at stf(n,m)=1 og k er et naturligt tal.

Svar #11
18. april 2008 af andersbm (Slettet)

Egentlig lyder det således:
m*n = q^2, hvor m*n er et kvadrattal, da det kan kvadreres.
Det må gælde da m*n er indbyrdes primiske, må de må de bestå af forskellige primtal for ellers ville de jo være ens.
Så de kan opskrives på følgende måde hver for sig:

n = p1^0,5*p2...pk^0.5 og m = q1^0,5*q2^0,5*qs^0,5

da:

n*m = p1^0,5*p2...pk^0.5 * q1^0,5*q2^0,5*qs^0,5 = pk*qs

Men så mangler jeg at forstå hvorfor man kan tillade sig, at opskrive m*n med fælles primtal(det er selvfølgelig klart at gøres det ikke er m*n ikke et kvadrattal).

Brugbart svar (0)

Svar #12
18. april 2008 af math-freak++ (Slettet)

"må de må de bestå af forskellige primtal for ellers ville de jo være ens. " - Tautologi.

Hvad mener du i de sidste to linjer?

Svar #13
18. april 2008 af andersbm (Slettet)

Jeg kan godt se hvorfor n og m hver for sig er kvadrat tal, men hvorfor kan man derefter så opskrive produktet m*n som m*n = q^2, da man før har fundet ud af at n og m netop er kvadrat tal fordi de kan opskrives som forskellige primfaktoropløsninger?

Skriv et svar til: Aritmetikkens

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.