Matematik
Cirklens ligning; to cirkler med samme punkt
Jeg får i opgaven at vide, at der er to cirkler; C1 og C2.
C1 har en linging, der hedder: x^2+y^2-22x+4y+61=0
Ud fra det har jeg fundet radius til at være: r(C1)=8
Og centrum til: C(C1)(-11;2)
Så får jeg at vide, at C2 har centrum A(-1;3) og r=5
Så lyder opgaven så: "Gør rede for, at de to cirkler har netop ét punkt fælles."
Nogle der kan hjælpe mig på vej?
Svar #1
21. august 2008 af tal-pædagog (Slettet)
Hvis afstanden mellem de to centre er lig summen af de to radier, så er der vel ikke så meget at rafle om... Hint: 52+122 = 132
(tre hele tal, der opfylder ligningen a2+b2 = c2 kaldes forresten Pythagoræiske tripler, så (a,b,c) = (5,12,13) er en Pythagoræisk trippel)
Svar #2
21. august 2008 af edn (Slettet)
#1 Tak for svaret, men jeg forstod egentligt ikke specielt meget af det første.
Men jeg har tænkt lidt mere over opgaven og er kommet til:
Hver cirkel har en ligning, der følger formlen r^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2
Jeg fandt cirklens ligning for C^2:
x^2 + y^2 + 2x -6y - 35 = 0
Og så satte jeg de to ligninger over for hinanden (trak dem fra hinanden):
Da jeg ved et et tilfældigt punkt på cirkelperiferien hedder P(x;y)
x^2 + y^2 - 22x + 4y + 61 = 0
x^2 + y^2 + 2x -6y - 35 = 0
<-->
-22x + 4y = -61
2x - 6y = 35
<-->
-22x + 4y = -61
2x * -11 - 6y * -11= 35 * -11
<-->
-22x + 4y = -61
-22x + 66y = -385
4y - 66y = 61 - (-385)
<-->
-62y = 324
y = - 162/31
og så kan man finde x ved at sætte ind i ligningen. Men først vil jeg lige høre om det er rigtigt? Og hvis ja, skal jeg så sætte x ind i den ligning der hedder "
Svar #4
21. august 2008 af tal-pædagog (Slettet)
Det er et modigt projekt, du er ude i! Hvis du endelig vil finde e to cirklers skæringspunkter ved at løse to ligninger med to ubekendte, er du nødt til at acceptere, at det er andengradsligninger du har med at gøre, så du kan desværre ikke smide andengradsleddene x2+y2 væk - selvom de to ligninger står overfor hinanden, som du siger. Det ville være hokus pokus - og matematik er ikke hokus pokus, men logik (forhåbentlig). Dine to ligninger hedder (forresten er centrum af første cirkel (11;-2), så dine fortegn er forkerte):
(x-11)2+(y+2)2=64
(x+1)2+(y-3)2=25
Hvis vi nu betragter den første ligning som en andengradsligning, hvor vi ønsker at isolere x, når man kender en konkret y-værdi, så bliver omskrivningen:
(x-11)2+(y+2)2=64
⇔ (trækker parentesen, hvori y indgår fra på begge sider)
(x-11)2=64-(y+2)2
⇔ (tager kvadratroden på begge sider idet jeg husker, at der er en positiv og negativ løsning)
x-11=±√(64-(y+2)2)
⇔ (lægger 11 til på begge sider)
x=±√(64-(y+2)2)+11
Dette udtryk skal nu substitueres ind i ligningen for den anden cirkel - hvorved du får x til at forsvinde, så du har en ligning, hvor kun y indgår:
(x-11)2+(y+2)2=64 sammen med
(x+1)2+(y-3)2=25
⇔
(±√(64-(y+2)2)+11+1)2+(y-3)2=25
Hm... Det kan sikkert lade sig gøre, men det er ikke pænt at se på! Måske skulle man vende tilbage til mit første forslag. Tænk over, at hvis to cirkler har så stor afstand til hinanden, at de kun lige akkurat kan røre hinanden i ét punkt, så vil dette punkt ligge midt imellem de to centre (det hedder desværre ikke centrummer) og derfor sker dette, netop hvis de to centre har så stor afstand, at dette kun lige kan lade sig gøre. Derfor skal afstanden |C1C2| være r1+r2...
Skriv et svar til: Cirklens ligning; to cirkler med samme punkt
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.