Determinantformlen til løsning af 2 ligninger med 2 ubekendte

det følger direkte af definitionen.. spade

 # 1 Du behøver ikke skrive spade....din storhed vises nemmere ved at du prøvede at forklarer og svare på spørgsmålet. Men det kan du måske ikke ?

#2 Vi havde lineær algebra første semester. Hvad tror du selv?

# 3 jamen så er du jo så klog at du nemt kan bevise det ved at regne et simpelt stykker og HJÆLPE andre.

nogle der vil hjælpe seriøst ?

To ligninger med to ubekendte for det meste skrives som

a₁₁x+a₁₂y=b₁

a₂₁x+a₂₂y=b₂

hvor a_ij≠0 og b_i for i=1,2 og j=1,2 er kendte konstanter. Bemærk mit foreløbige krav om at a_ij≠0. Disse udtryk kan omskrives til linjeforskrifterne:

y=ax+b

y=cx+d

ved at sætte a=-a₁₁/a₁₂, b=b₁/a₁₂ og c=-a₂₁/a₂₂, d=b₂/a₂₂. Så derfor svarer dette præcis til at finde skæringspunktet mellem to linjer. Det øverste er et rent algebraisk problem, der hedder: find talpar (x,y), der løser de to ligninger med to ubekendte, mens den nederste opskrivning fortæller om geometrien bag algebraen, nemlig at finde skæringspunktet mellem to linjer.

På den geometriske måde er det let at se, at ligningssystemet ikke kan løses, hvis linjerne er parallelle men ikke sammenfaldende, dvs. a=c, men b≠d. Betingelsen a=c giver at k·(a₁₁,a₁₂)=(a₂₁,a₂₂) for en passende konstant k. Betingelsen b≠d fortæller så, at der for det samme k gælder, at k·b₁≠b₂. Hvis linjerne er sammenfaldende bliver sidste betingelse til b=d og dermed k·b₁=b₂ for samme k. I begge disse tilfælde er diskriminanten d=a₁₁·a₂₂-a₂₁·a₁₂=a₁₁·k·a₁₂-k·a₁₁·a₁₂=0.

Hvis ligningssystemet har netop én løsning, vil denne geometrisk set være skæringspunktet mellem to ikke-parallelle linjer. Derved er a≠c og k·(a₁₁,a₁₂)≠(a₂₁,a₂₂) for ethvert k≠0, men vi kan finde k₁≠k₂ så

(k₁·a₁₁,k₂·a₁₂)=(a₂₁,a₂₂)

hvorved det ses, at d=a₁₁·a₂₂-a₂₁·a₁₂=a₁₁·k₂·a₁₂-k₁·a₁₁·a₁₂=(k₂-k₁)·a₁₁·a₁₂≠0. Så i dette tilfælde er d≠0. Men nu krævede jeg i starten, at a_ij≠0.

Hvis a₁₁=a₁₂=0 er det let at se, at øverste ligning har uendeligt mange løsninger hvis b₁=0, hvorved den ikke stiller krav til x og y overhovedet og dermed bliver ligegyldig, eller også har den ingen løsninger, nemlig hvis b₁≠0, hvorved nummer to ligning bliver totalt ligegyldig. I begge tilfælde er d=0. Derved ses at ligningssystemet kun er interessant, hvis højst én af a_ij'erne i hver række er 0.

Hvis a₁₁=0 får man en vandret linje, hvis a₁₂=0 får man en lodret linje og  noget tilsvarende kan man sige i det nederste ligning. Dermed giver nuller i første søjle, at man har to vandrette/parallelle linjer, der enten skærer overalt eller aldrig skærer, og så er d=0 (regn efter). Hvis der står nuller på en af diagonalerne og ikke-nul på den anden, så er den ene linje lodret og den anden vandret og de skærer netop ét sted, og d≠0. Er der kun ét a_ij, der er nul, så er den ene linje lodret eller vandret, mens den anden hverken er lodret eller vandret, hvorfor de skærer i ét punkt, og man kan se, at d≠0.

Jeg ville benytte et knoecker-delta i min notation.