2sin(x)cos(x)=sin(2x) - Hvorfor?

alment:
sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y)

.......................................................................

sin(2x) = sin(x+x) = sin(x)*cos(x) + cos(x)*sin(x) = sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x)

Ok, her er en simpel udledning (kræver kendskab til Eulers formel e^i*x = cos(x) + i*sin(x) ):

cos(2x) + i*sin(2x) = e^i*2x = e^i*x e^i*x = [cos(x) + i*sin(x)]² = cos² x - sin² x + i*2*cos(x)*sin(x)

Her står lighedstegn hele vejen, så ved at sammenligne real og imaginær del ser vi, at

cos(2x) = cos² x - sin² x   og    sin(2x) = 2*cos(x)*sin(x).

I forlængelse af #1 kan jeg sige, at hvis vi starter med cos(x+y) + i*sin(x+y), så når vi frem til den additionsformel, der står øverst i post #1. 

Mange tak, begge to, men jeg kender altså desværre ikke til Eulers formler (det burde jeg nok undersøge) - det har vi ikke lært om endnu, og jeg går ud fra, at det er væsentligt højere niveau end det vi arbejder med i matematik nu, så min lærer ville nok ikke bryde sig om, at jeg nævnte det lige pludselig.

Endnu en gang tak.

#4,

Prøv at betragte denne figur, og se, om du kan følge beregningen der: 

http://math.uaa.alaska.edu/~smiley/deb4.jpeg

Spørg igen, hvis du har brug for yderligere hjælp.

#5:

Jeg har lidt svært ved at se, hvordan man kommer frem til (sin(b)cos(a))/sin(a)

Jeg tror jeg selv har fundet svaret nu. Fandt et bevis med en ligebenet trekant, som gav god mening for mig.

Men tak for hjælpen alligevel.

#6,

Betragt den lille trekant med a som en af vinklerne vinkel. Bruger du tangensrelationen for retvinklede trekanter, så får du tan(a) = sin(b)/x <=> x = sin(b)/tan(a) = sin(b) * cos(a) / sin(a), da 1/tan(a) = cos(a) / sin(a). Giver det mening nu? Men hvis du har fundet en løsning, du forstår, så er det fint. Den figur, jeg henviste til, er bare en af mange muligheder.
 

Jeg kender ikke til tagens-relationerne (jeg føler mig efterhånden ret dum til trigonometri), men tak for engagementet.

#9,

Come on! Du kender helt sikkert til en retvinklet trekant, hvor der gælder, at

sin(v) = (modstående katete) / hypotenuse

cos(v) = (hosliggende katete) / hypotenuse

tan(v) = sin(v) / cos(v) = (modstående katete) / (hosliggende katete)

Nåh dem. Ja, dem kender jeg godt :P