En meget underlig ligning

Det meste er udmærket. Det sidste bevi er ikke helr tilfredsstillende. Det er bedre at bruge differentialregning.

#1 jeg går udfra du taler om approximationen (1+x)^-1≈1-x … denne har jeg set et par gange idag her på SP. Jeg kan godt se hvordan den opnås ved rækker .... men ved differentialregning? Venligst vis :-)

f(x)=1/x, f'(x)=-1/x².

Definitionen på differentialkoefficient siger: Δy = f(x+h)-f(x) = f'(x)*h+o(h)h, hvor o(h)->0 for h->0. Med f(x)=1/x og flytning af f(x) får du 1/(x+h) = 1/x -1/x²h+o(h)h. Med x=1 bliver dette

1/(1+h) =1-h+o(h)h  Her er det sidste led for små h meget mindre end det næstsidste. Det er et specielt eksempel på Taylor rækker og McLaurin rækker 

Så dette betyder at den sidste ligninig slet ikke passer?

Resultatet er rigtigt. Det er kun selve beviset jeg ikke finder godt nok.