Planens ligning

Tag et stykke pap og hold det op i luften, det er en del af din plan. tag så en blyant og hold den, så den står vinkelret på planen, det er din normalvektor til planen. Så gælder at de punkter, der ligger på planen tilfredsstilles af n*(r-r₀)=0. Her er P(x,y,z) et punkt i planen, Planen er altså mængden af alle de punkter, for hvilke P₀P er vinkelret på n, og P₀P = r-r₀ Her er det helt nødvendigt med en skitse. Vektorligningen får så følgende koordinatudtryk A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0. Det synes jeg er den bedste måde at skrive det på, selvom man kn samle konstanterne til Ax+By+Cz=D.

Som sagt tegne det nu op, så kan du selv se det.

Jeg har fundet ud af at planens ligning er sådan (se vedhæftet fil), men der viser jeg kun planens ligning og ikke ud fra dens parameterfremstilling?

Jo men men P₀P har nogle koordinater udtrykt ved t, nemlig ((x(t), y(t)). Du starter med at skrive stedvektoren OP₀, (r₀) dernæst OP (r), så er OP-OP₀=r-r₀, stadig udtrykt ved parameteren t, du skal tegne det for at se det, giv så punkterne de dertil hørende koordinater.

Hvis du stadig er lost, laver jeg det for dig, men prøv lige selv.

Mener du noget lignende det her:

Se vedhæftet fil

#3

Jo men men P₀P har nogle koordinater udtrykt ved t, nemlig ((x(t), y(t)). Du starter med at skrive stedvektoren OP₀, (r₀) dernæst OP (r), så er OP-OP₀=r-r₀, stadig udtrykt ved parameteren t, du skal tegne det for at se det, giv så punkterne de dertil hørende koordinater.

Hvis du stadig er lost, laver jeg det for dig, men prøv lige selv.

Du kunne ikke give mig det du havde vel? For tror ikke helt jeg er med.

jeg kigger på det senere, har enormt travlt her om aftenen, det er som om alle kommer i tanke om lektier lige inden sengetid

Tænkte på hvis man har en parameterfremstilling for en plan om man så kunne tage, punktet i planen og de to retningsvektor, og bruge dem som 3 punkter til at finde planens ligning? For så kan jeg godt finde ud af at finde planens ligning, er bare usikker på om man kan gøre det på den måde?

Lad os sige, du har et punkt Q i planen og to vektorer v og w, der definerer planen ∑. Så har du tre punkter i plann, P, Q og R. Planen er så på parameterfremstilling givet ved: Σ = Q + t*v + s*w, hvor t og s er reelle tal. Et eksempel kan være:

Σ = (x,y,z) | (2,2,3) + t*(4,3,1) + s*(2,0,-1))

vektoren v er så P-Q og vektoren w er så R-Q.

Her har du den parametriske beskrivelse af planen, tegn det nu op og kontroller!!

en parameterfremstilling for planen

α: OP_o = [x_o,y_o,z_o] + s*a + t*b        (fed = vektor)

en normalvektor, n[a,b,c] til α
er
n = a x b  (krydsprodukt)

α kan nu beskrives
som
α: {P(x,y,z)| n*P_oP = 0}    (prikprodukt)
dvs

a(x-x_o) + b(y-y_o) + c*(z-z_o) = 0

ax + by + cz + (-(ax_o + by_o + cz_o)) = 0

ax + by + cz + d = 0                               d = -(ax_o + by_o + cz_o)