Matematik
Bestemmelse af uegentligt integral vha residuesætningen
Godaften
Jeg behøver lidt hjælp til denne. Brug residuesætningen til at bestemme ∫ x2/(x2+1)2 dx, hvor ∫ er fra minus uendelig til uendelig.
Nogle hint?
Svar #1
28. marts 2009 af Dynin (Slettet)
#0 Sæt f(z)=z2/(z2+1)2 som er meromorf med poler z=±i. Bestem residuet i z=i (du behøver ikke at bestemme dem begge :-)
Betragt nu halvcirklen i den øvre halvplan t→reit, tε[0,π], sammen med intervallet [-r,r]. Dette beskriver en simpel lukket vej som indeholder polen z=i når r>1 … Heraf giver residuesætningen at
Kig nu på den numeriske værdi af det ”uønskede” integral … dette konvergerer mod 0 når r→∞
... et sidste HINT … jeg får res(f,i)=-i/4 så integralet giver π/2
Svar #2
28. marts 2009 af dualtemp (Slettet)
Tak for svar! Ja, jeg får også res(f,i)=-i/4 og res(f,-i)=i/4 (passer det?)
Jeg har regnet på det, du kalder ”det uønskede integral”, men kan ikke se hvordan du får 0??
Svar #3
28. marts 2009 af Dynin (Slettet)
Hejsa igen
når du ser på den numeriske værdi af integranden haves umiddelbart at
således kan det ”uønskede” integral højst give
som jo konvergerer mod 0 når r→∞ :-)
… og ja res(f,-i)=i/4
Svar #5
29. marts 2009 af kieslich (Slettet)
Der er mange år siden jeg så det her sidst, så er der en der vil fortælle mig hvordan Res(f,i) udregnes ? Jeg bliver ved med at få ∞+∞i Mange tak
Svar #6
29. marts 2009 af Dynin (Slettet)
#5 z=i er pol af orden 2 til f. Med g(z)=(z-i)2f(z) er Res(f,i)=g'(i) ...
Svar #7
29. marts 2009 af kieslich (Slettet)
Mange tak, det er uheldigvis også formlen jeg bruger. Det må være TIIA der gør knuder. Tilbage til papir og blyant.
Svar #8
29. marts 2009 af Dynin (Slettet)
f(z)=z2(z2+1)-2
g(z)=(z-i)2f(z)=z2(z+i)-2
g'(z)=2iz(z+i)-3
g'(i)=2i2*(2i)-3=1/(4i)=-i/4
Svar #10
29. marts 2009 af dualtemp (Slettet)
Dynin, sådan regnede jeg også res(f,i) :)
Din lukkede kurve er γ: [-r,r] U reit for t i 0 til pi, hvorfor bruger du den? Jeg tænkte, at man skulle bruge den akse parallelle kurve λ: (-r,0)→(r,0)→(r,ir)→(-r,ir)→(-r,0) som for r>1 også indeholder z=i
Svar #11
29. marts 2009 af Dynin (Slettet)
#10 det kan du også ... men det giver 4 integraler du skal evaluere.
Med mit valg af kurve er det nok med to :-) Men prøv din metode ...
Svar #12
29. marts 2009 af Dynin (Slettet)
... du burde meget gerne få at
som er lig med 2πires(f,i) ... som jo er uafhængig af valget af den simple lukkede vej ;-)
Skriv et svar til: Bestemmelse af uegentligt integral vha residuesætningen
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.