Matematik

Bevis sinus

28. november 2004 af 2835 (Slettet)

Hejsa...

Jeg har siddet og prøvet at bevise at den inverse funktion af sinus, har differentialkvotienten f'(x)=1/sqrt(1-x^2)

jeg skal fremlægge i morgen, men har opgivet, håber at nogen kan henvise til hjemme side eller på anden måde hjælpe mig.

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Jeg skal da gøre et forsøg :)

Først en definition:

Lad S:[-pi/2,pi/2]->R være funktionen

S(x) = sin(x) , x E [-pi/2,pi/2]

der som bekendt har værdimængde [-1;1].
S er strengt voksende på [-pi/2,pi/2] og har derfor en invers (omvendt) funktion, som er defineret på intervallet [-1,1]. Denne funktion kaldes arcus-sinus,

arcsin(x) = sin^(-1)(x), x E [-1,1]

Arcsin er differentiabel i intervallet ]-1,1[ og

arcsin'(x) = 1/sqrt(1-x^2)

For at se dette, bruger vi, at for x E ]-pi/2,pi/2[ er

sin'(x) = cos(x) > 0

og af idiotformlen

sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1

følger så, at

sin'(x) = sqrt(1-sin(x)^2)

Lad nu y E ]-1,1[ og sæt x = arcsin(y). Så er x E ]-pi/2,pi/2[, og sin(x) = y, (jf. definitionen længere oppe).
Dermed er

arcsin'(y) = 1/sin'(x) = 1/sqrt(1-sin(x)^2) = 1/sqrt(1-y^2)

Det var, hvad du skulle vise. Er du med så langt?

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. november 2004 af frodo (Slettet)

Som en lille tilføjelse til singularitys ellers udemærkede bevis, skal det lige nævnes,at en invers funktions afledede, er lig med en over den afledede funktionen:

f^-1'(x)=1/f'(x)

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. november 2004 af frodo (Slettet)

Som en lille tilføjelse til singularitys ellers udemærkede bevis, skal det lige nævnes,at en invers funktions afledede, er lig med en over den afledede funktionen:

f^-1'(x)=1/f'(x)

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#3: Ja - godt :) Det fik jeg ikke præciseret.

//Singularity

Svar #5
28. november 2004 af 2835 (Slettet)

jeg takker meget for jeres hjælp, kigger det lige igennem

Svar #6
28. november 2004 af 2835 (Slettet)

arcsin'(y) = 1/sin'(x) = 1/sqrt(1-sin(x)^2) = 1/sqrt(1-y^2)

f(x)=sin(x)=y (dette er blot en general definition?) ???

Lad nu y E ]-1,1[

HVORFOR IKKE LUKKET?

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#6: Fordi vi betragter differentialkvotienterne på de ÅBNE intervaller ]-pi/2,pi/2[ hhv. ]-1,1[. Bemærk, at

arcsin'(x) = 1/sqrt(1-x^2)

kun er defineret på det åbne interval ]-1;1[. Det skyldes jo, at vi i beviset har brugt, at

sin'(x) = cos(x) > 0

for x E ]-pi/2,pi/2[. Det er forbudt efterfølgende at udvide intervallet ]-1,1[ til [-1,1]!

//Singularity

Svar #8
28. november 2004 af 2835 (Slettet)

okay, jeg har forstået mange tak for din hjælp

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. november 2004 af yogi (Slettet)

er der en nem måde at huske tan cos sin på yogi

Brugbart svar (0)

Svar #10
28. november 2004 af frodo (Slettet)

hvad mener du?

Hvordan de er defineret, eller hvad?

Skriv et svar til: Bevis sinus

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.