Matematik
Fuldstændig løsning til 4-dimensionel bølgeligning
Hej alle
Nu håber jeg, at nogle matematikere kan hjælpe med et lille problem, jeg er stødt på. Jeg skal bruge den fuldstændige løsning på den 4-dimensionale bølgeligning for et elektromagnetisk vektorpotential, A:
hvor Δ er LaPlaceoperatoren. Der er altså tale om Alembertain-operatoren brugt på vektorpotentialet A.
Mit problem består dels i, at jeg skal finde løsning for A og opskrive den diskrete fourierrække for denne løsning.
Jeg har forsøgt med seperation af de variable under antagelse af, at A(r,t) = Ax(x) * Ay(y) * Az(z) * At (t) * e, hvor e er en enhedsvektor i A(r,t)'s retning. Jeg kan separere de rumlige dele, hvor jeg er ude efter løsninger af formen Aj(j) = C1j exp(ikjj) + C2j exp(-ikjj), hvor j angiver hhv. x,y,z. Det, der volder mig problemer er den tidslige del. kj = 2πnj / L, hvor nj € Z og L er længden på den ene side af det volumet, jeg arbejder med. Der arbejdes med en kube med volumen L3.
Jeg ved desuden, at facit skal være:
hvor A1 og A2 er fourierkoefficienterne, k = kx x + ky y + kz z, og ωk = |k|c. For de, der ikke har gættet det, så er k bølgevektoren og r er retningsvektoren.
Forhåbentlig er der nogen, der kan hjælpe. :)
På forhånd tak.
Svar #1
13. maj 2009 af peter lind
Den løsning du angiver synes snarere at antyde at du skal betragte den rumlige afhængighed som af formen A(k·x,t). Så bliver ΔA=k2A''(k·x,t), hvor den afledede er underforstået foretaget med hensyn til q=k·x. Dermed kan ligningen omskrives til A''qq(q,t)-A''tt(q,t)/k2/c2 =0. Ved at foretage en transformation til de nye variable u=q+kct, v= q-kct bliver differentialligningen A''uv=0 , som har den generelel løsning A = A1(u)+A2(v). Funktionerne må så findes af randbetingelserne.
Skriv et svar til: Fuldstændig løsning til 4-dimensionel bølgeligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.