Cirklen tangenter.

REDIGERET, fordi jeg først ikke fattede noget.

Ok, jeg forstår problemet nu, 2 sekunder.

  Jeg har selv en ide nu.

-1=a(-4)+b

a_1=(-1)/(-4)=1/4

jeg skal lave en linje til den der ligger vinkelret på og som skærer (0,0) korrekt?

a_1 * a_2 = -1

a_2 = -(1/4)

0=(-1/4)*0+b

b=0

y=(-1/4)x ...?

 nej æv, det virkede ik :P

Jeg har lavet noget, der er besværligt, men som ser ud til at virke. Din idé kan man måske brygge noget simplere på.

Anyway, da afstanden fra cirklens centrum til origo er sqrt(17), får vi via Pythagoras, at afstanden fra origo til hvert af de punkter, hvor tangenterne skærer cirklen, er sqrt(13).

Hvis (x,y) betegner et punkt, hvor tangenten rører cirklen, så er altså

x^2+y^2=13, og

(x-4)^2+(y-1)^2=4,

to ligninger med to ubekendte.

Man kunne f.eks. skrive den første ligning om som

x^2+y^2=13 <=> x^2+(y-1)^2 = 14-2y,

og sætte (y-1)^2 fra den anden ligning ind. Det bliver sikkert ikke pænt.

#0: Se: https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=265676

Her er den nemme måde. :) Da tangenterne t går igennem origo, har de formen y=ax.

Lad C : (x,y)=(4,1) betegne cirklens centrum. Så ved du, at afstanden fra centrum til en af tangenterne er 2, dvs.

2=dist(C,t) = |y-ax|/sqrt(a^2+1) (som er formlen for afstanden fra punkt til linje).

Men så er

2=|1-4a|/sqrt(a^2+1), eller

2sqrt(a^2+1)=|1-4a|.

Kvadreres begge sider, fåes

4(a^2+1) = 16a^2-8a+1, altså en andengradsligning i a.

De to løsninger giver netop hældningerne for de to tangenter.

at tangenterne går gennem (0,0)
betyder, at deres
ligning er
y = ax eller ax - y = 0

C(4,1) skal have afstanden 2 til de søgte tangenter:

dist(tangent,C(4,1)) = |a*4-1| / √(1+a²) = 2 hvoraf

|a*4-1|² = (2√(1+a²))²

(4a-1)² = 4(1+a²)

16a²-8a+1 = 4+4a²
12a² - 8a -3 = 0

a₁ = (2+√(13))/6    og     a₂ = (2-√(13))/6

tangent₁: y = ((2+√(13))/6)x
tangent₂: y = ((2-√(13))/6)x
 

endnu en metode:

som tidl. nævnt er tangenterne af formen y=ax, da den/de går gennem origo. Linien fra origo til  centrum er vinkelhalveringslinie for topvinklen dannet af de to tangenter. Ved simpel trigonometri kan man finde tangenternes vinkel med x-akse og dermed tangens til disse, som netop repræsenterer a  i tangenternes ligninger.

Ses igen lettest ved optegning på kv.papir eller eksempelvis i Ti- interactive