Linæer SDE. Wienerproces. Sværere

Første led af løsningen er nogenlunde at komme fremtil, men den stokastiske del med integralet kan jeg slet ikke se, hvorledes fremkommer.

#0 du kan bare bruge panserformlen, som du nok kender fra diff.ligninger ...

dX(t)=aX(t)dt+bdW(t) ⇒ X'(t)-aX(t)=bW'(t) ⇒ X(t)=Ce^at+e^at∫e^-asbW'(s)ds=Ce^at+be^at∫e^-asdW(s)

som ved indsættelse af randværdien giver det ønskede.

... Du bør nok overveje om ligningen/regningerne gælder generelt eller kun "næsten sikkert", da det jo er stokastisk .....

#2;

Ok. Takker. Det var (desværre) der min film for alvor knækkede. Din løsning henvises i litteraturen til som værende heuristisk, så jeg ved ikke helt, hvad der er klogt at skrive.... altså andet end, at man er klar over, at man har løst problemet lidt løst med en ODE tilgang.

Håber du har et par gode råd. Skal aflevere tirsdag :D

#3 oki, efter gennemlæsning af #0 ser jeg du kender til Itôs lemma ... Sæt f(X(t),t):=X(t)e^-at. Ved brug af lemmaet haves så

df(X(t),t)=-X(t)ae^-at+e^-atdX(t)=be^-atdW(t) [ lav selv mellemregningerne :) ]

Integreres fra 0 til t haves

X(t)e^-at=X(0)+∫₀^t be^-asdW(s) hvoraf X(t)=e^atX(0)+b∫₀^t e^a(t-s)dW(s)

#4;

Super. Jeg kender til Ito, men har ikke helt styr på hjælpefunktionerne. Fungerer de blot som et "kvalificeret" gæt -- eller har du en fremgangsmetode?

Mange tak,

#5 oftes er det, som du selv skriver S→log_e(S) man bruger. Med lidt træning kan man se (i.e. give et kvalificeret gæt på) hvad "hjælpefunktionen" er ... jeg kender desværre ingen konkret fremgangsmåde til bestemmelse af disse :/ ...

#6 Grunden til, at man gætter på Z=ln(X) er det fordi den har pæne første og anden afledte? Eller er det bare standard-gæt?  ...tænkte på om det kunne have effekt, hvis X fulgte en bestemt fordeling.

I økonomi har man typisk en eller anden proces med et stokastisk normalfordelt støjled. Ved brug af Ito gættes der på Z=ln(X).. er det fordi man ved, at da vil Z være log-normaltfordelt, hvis det går godt?

Tak,

#7 såvidt jeg husker er det bare et standard gæt fordi man, som du skriver, får en pæn fordeling ...

RETTELSE: ln(X) er vel kun pæn i en GBM og vel ikke i en generel SDE? ... det kan jeg ikke lige gennemskue :/

#8 - åårll riiite. Tak for hjælpen.

- det kan jeg heller ikk', men det lyder sandsynligt.

#7 glem rettelsen, den var vist mere til forvirring end noget andet :/ Sorry, jeg filosoferede lidt ...