Find alle Taylor-polynomier.

Du kan starte med at skrive dine beregninger op. Så er det nemmere for mig at finde fejlen. :-)

Du kan bruge h(x) = f(1) +f'(1)(x-1) +f''(a)/2! * (x-1)² + ... + Lagrange restledde E_n(x), som du kan finde i din bog. Der er altså tale om approximationer af funktioner af høj oprden.

f(1) = 1 + 6 + 1 = 8

f'(x) = 4x³ + 12x, f'(1) = 4 + 12 = 16

f''(x) = 12x² + 12, f''(1) = 12 + 12 = 24

f⁽³⁾ (x) = 24x , f⁽³⁾ (1) = 24

f⁽⁴⁾ (x) = 24 , f⁽⁴⁾ (1) = 24

f⁽ⁿ⁾ (x) = 0 ∀n ≥ 5.

P_n (x) = ∑_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾ (1)/n! · (x - 1)ⁿ 

= f(1)/0! + f'(1)/1! · (x - 1) + f''(1)/2! (x - 1)² + f⁽³⁾ (1)/3! (x - 1)³ + f⁽⁴⁾ (1)/4! (x - 1)⁴

= 8 + 16 (x - 1) + 12 (x - 1)² + 8 (x - 1)³ + (x - 1)⁴

Lige et par ting til: Du når til et punkt, hvor fⁿ'(x) = 0, og en anden tilføjelse, det hele stammer fra differentialkvotienten:

(f(x) - f(a)) / (x-a) = f'(a), som så løses med hensyn til f(x)

Peter, hvis du vil have noget uddybet, så giv besked. :-)

#4 Det er ikke for at hakke på dig, Erik, men

"(f(x) - f(a)) / (x-a) = f'(a)" er nonsens. Du forveksler vel diff. kvotienten med differenskvotienten.

ja undskyld, jeg skulle have skrevet f(x) cirka lig f(a) +f'(a)(x-a), det er lineariseringen af 1. orden. Håber det er fyldestgørende nok, og nu vi er ved det, så fås Taylor serien også i kompleks notation, skulle være lidt smartere. Der er frit valg på hylderne.

Jeg er også kommet frem til det sidste udtryk i #3. Men jeg er i tvivl om hvorvidt det er det endelige svar.

8 + 16 (x - 1) + 12 (x - 1)2 +4(x - 1)3 + (x - 1)4

Det er det endelige svar.