løsning af lineær diff.lign. af 1. orden

Hvis funktionen er voksende, så er differentialkvotienten positiv - undersøg dette.

e^-x er monoton aftagende og e^x er monoton voksende. Da e^-x -> oo for x -> -oo og e^x->0 for x->-oo., vil e^-x være dominerende for tilstrækkelig små værdier af x. Funktionen kan så kun være voksende overalt hvis e^-x forsvinder altså c≤0

y' + y = 2e^x                       multiplicer med e^x på begge sider

e^x·y' + e^x·y = 2e^2x

(e^x·y)' = 2e^2x                     integrer med hensyn til x på begge sider

∫(e^x·y)'dx = ∫2e^2xdx

e^x·y = e^2x + c

y = f_c(x) = e^x + ce^-x

y' = 2e^x - y = 2e^x - (e^x + ce^-x) = 2e^x - e^x - ce^-x)

y' = e^x - ce^-x = e^-x(e^2x - c)

y' = f_c'(x) = e^-x(e^2x - c)

monotoniforhold:
for c<e^2x er f_c'(x)>0, hvoraf f_c(x) er monotont voksende
for c>e^2x er fc'(x)<0, hvoraf f_c(x) er monotont aftagende