Stokastisk analyse – Doob's max L2 ulighed

#0 udnyt at hvis X≥0 og X² integrabel så er E(X²)=2∫₀^∝tP(X≥t)dt ... der let vises! Derefter haves

||X_n*||₂²=

E((X_n*)²)=

2∫₀^∝tP(X_n1_(Xn*≥t))dt≤

2∫₀^∝E(X_n1_(Xn*≥t))dt=

2∫₀^∝(∫_Xn*≥t)X_ndP)dt=

2∫_ΩX_n(∫₀^Xn*dt)dP=

2∫_ΩX_nX_n*dP=

2E(X_nX_n*)≤

2||X_n||₂||X_n*||₂

hvoraf ||X_n*||₂≤2||X_n||₂ ... som ønsket ;-)
 

Oaky tak! Så du bruger sætningen → maksimal uligheden → Tonelli's sætning → Schwartz' ulighed ikk?

Okay, jeg kan ikke finde "hvis X≥0 og X² integrabel så er E(X²)=2∫₀^∝tP(X≥t)dt " i mine noter .Gider du at vise den for mig?

#3 det er ellers ret oplagt... for x≥0 er x²=2∫₀^xtdt=2∫₀^∝t1_(x≥t)dt ... så med x=X(ω) haves

X(ω)²=2∫₀^∝t1_X(ω)≥tdt ... hvoraf E(X²)=2∫₀^∝tE(1_X≥t)dt=2∫₀^∝tP(X≥t)dt  ................................DONE :-)