Matematik
Bestem ligning for to ubekendte cirkeltangenter
Der er givet en cirkel
x2+4x+y2-6y-23=0
og en linje l
3x-4y-4=0
Cirklens ligning har jeg omskrevet til
(x+2)2+(y-3)2=36
med C(-2,3)
og derefter beregnet afstanden fra C til l vha. dist-formlen, som giver afstanden 22/5
Nu kommer den anden del så. Cirklen har to tangenter t1 og t2, der er parallelle med l. Bestemt en ligning for hver af disse to tangenter.
Jeg ved, at da de er parallelle med l har de også samme normalvektor som l. Normalvektorens skæringspunkter med cirklen kan derefter beregnes.
...Og så er jeg gået lidt i stå mht. beregninger. Jeg skal bruge samme hældning som l har, da de er parallelle, men så er der lige de der punkter på cirklen.
Er der nogen der kan hjælpe lidt?
Svar #1
16. november 2009 af peter lind
En tangent til en cirkel står altid vinkelret på radiusvektor, så punkterne kan findes som skæringspunkt mellem cirklen og linien, der går gennem centrum og er ortogonal på l. Du kan også finde punkternes stedvektor af OP =OC ± v, hvor C er centrum for cirklen og v er en vektor, der er vinkelret på linien og har samme længde som radius.
Svar #2
16. november 2009 af mathon
alment:
c: x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0
centrum C(-d,-f) radius r = √(d2+e2-f)
specifikt:
det vil for
x2 + y2 + 2·2x + 2(-3)y + (-23) = 0
sige
C(-2,3) og r = √(22+(-3)2-(-23)) = 6
og dermed
(x+2)2 + (y-3)2 = 62
.......
L: 3x - 4y - 4 = 0
y = (3/4)x - 1
de søgte tangenter, t1 og t2, skal være parallelle med L og derfor have samme normalvektor n[3,-4] med
længden 5
dvs begge kunne skrives
på formen
3x - 4y + c = 0
og
orienteret i forhold til normalvektor n
t1 have afstanden +6 fra C
t2 have afstanden -6 fra C
hvoraf
t1: {P(x,y) | (3·(-2) - 4·3 + c1)/5 = 6}
c1 = 48
3x - 4y + 48 = 0
y = (3/4)x + 12
t2: {P(x,y) | (3·(-2) - 4·3+c2)/5 = -6}
c2 = -12
3x - 4y -12 = 0
y = (3/4)x - 3
Svar #3
16. november 2009 af Fzang (Slettet)
Du skal have mange tak for svaret mathon, men jeg er desværre ikke helt med på dele af det. Fx, hvordan finder du frem til at t1 har afstanden 6 fra C, og t2 har afstanden -6 fra C? Jeg kan ikke helt se hvad det er du gør.
Svar #4
16. november 2009 af mathon
en tangent ligger i afstanden r fra centrum
det vil i dette tilfælde sige
i afstanden
+6 eller - 6 set i forhold til tangenterne regnet efter normalvektor n[3,-4]
indsættelse i punkt-linje-afstandsformlen
.............
rettelse af tastfejl i #2's tredje linje:
centrum C(-d,-f) → centrum C(-d,-e)
Svar #5
16. november 2009 af Fzang (Slettet)
Tak, nu ringede alle klokkerne pludselig. Har løst den nu. Super!
Edit: Kan man godt bruge -6 som afstand, i og med at den er negativ? Det troede jeg ellers ikke?
Edit 2: Okay, x2=62 bliver trods alt 6 eller -6, kan jeg godt se...
Svar #6
16. november 2009 af Fzang (Slettet)
Edit 3: Man kan åbenbart ikke løse den ved at bruge numeriske værdier i afstandsformlen?
Skriv et svar til: Bestem ligning for to ubekendte cirkeltangenter
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.