Partiel integration?

se
 

Det er rigtig at du skal bruge partiel integration. Det skal du enda gøre 2 gange. Integrer sin og differentier x². Næste gang integrer cos og differentier x

Du kan godt sige, at du deler det op. Det gør du vel i en eller anden forstand:

Vi har:

∫x²*sin(x)dx=x²*(-cos(x))-∫2x*(-cos(x))dx

hvilket vi kan forkorte til:

                   =-x²*cos(x)+2∫x*cos(x)dx

Da det sidste integrale ikke rigtigt er til at regne om endnu, må vi også benytte partiel integration på det (hvis det er det, du mener med at dele op, så ja):

∫x*cos(x)dx=x*sin(x)-∫1*sin(x)dx

der, når vi forkorter, giver:

                   =x*sin(x)+cos(x)

som vi naturligvis kan indsætte i stedet for integralet i det første udtryk. Heraf har vi altså:

∫x²*sin(x)dx=-x²*cos(x)+2x*sin(x)+2cos(x)

som din lommeregner nok ville forkorte lidt yderligere, men det kan du selv klare, hvis det er.

Lækkert... Mange tak for hjælpen alle sammen :D

Har alligevel et spørgsmål til #3 (alle må dog godt svare)

Hvorfor ændres x² ikke..

Vi bruger vel formlen:

∫f(x)*g(x) dx = F(x)*g(x) - ∫F(x)*g'(x) dx

 ......

Er det fordi den netop 'agerer' g(x) i dette tilfælde?

Netop

Du skal overveje, hvordan formlen for partiel integration fremkommer.

Vi kan nok hurtigt blive enige om at følgende gælder:

(f(x)*g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Tager vi integralet af både venstre og højresiden af lighedstegnet (reglen for integration af en sum), får vi:

f(x)*g(x)=∫f'(x)g(x)dx+∫f(x)g'(x)dx

som vi derfor selv kan vælge at forkorte således:

∫f(x)g'(x)dx=f(x)*g(x)-∫f'(x)g(x)dx

eller således:

∫f'(x)g(x)dx=f(x)*g(x)-∫f(x)g'(x)dx

hvor jeg altså har brugt den første.

Men du kan godt sige, at den "agerer" g(x), som du skriver det op. Men forklaringen er som ovenstående.

Okay.. Tak for denne underbyggende teori!

Vil helt sikkert være behjælpeligt