Vinklen mellem to vektorer - kun ved brug af skalarprodukt og længder

(a+b)·(a-b) = |(a+b)||a-b|cos(v), hvor v er den mellemliggende vinkel. Længderne af de 2 vektorer kan du finde af |a±b|²=(a±b)·(a±b)

Jeg er med på den første formel (a+b)·(a-b) = |(a+b)||a-b|cos(v).

Men da vi jo kun har længderne og ikke koordinaterne, hvilke værdier sætter du så ind hvor i |a±b|²=(a±b)·(a±b)?

Bare en hurtig tanke, - med de opgivne oplysnnger:

Lad der om to vektorer a og b gælde at l a l = 2 l b l = 3 a prik b = 5

kan du vel bestemme vinklen mellem og med formlen:

Og kender du vinklen mellem vektorerne og beslutter dig for at placere den ene - fx i en vinkel på nul grader i forhold til referencen, så får den koordinaterne:

Du kan således bestemme koordinaterne til  med lidt trigonometri:

Har du koordinaterne til de enkelte vektorer, kan du sagtens regne resten, - ikke sandt?
 

se

De to vektorer a og b med længder |a| og |b| og prikprodukt a•b bestemmer et parallelogram med sidelængder |a| og |b| og vinkel v bestemt bed cos v = a•b .  Vektorerne a+b og a-b bestemmer da de to diagonaler i parallelogrammet, og opgaven går da ud på at bestemme vinklen w mellem de to diagonaler. Den bestemmes ud fra den sædvanlige cosinusformel for vinklen mellem to vektorer

cos w = (a+b)/|a+b| • (a-b)/|a-b| = (|a|²-|b|²) / √((|a|²+|b|²)²-4(a•b)²) = -5/√69

Mange tak for svarene.

Jeg har dog lige et spørgsmål. Mathon, du skriver i worddokumentet at  l a + b l² = l a l² + l b l² + 2 * l a l * l b l *cosv   - er dette ikke kvadrattet på en toleddet størrelse, og hvorfor kan du så sætte cosv  ind? Hvis det ikke er det, hvad er det så for en formel?

Og en anden ting: kan bare uden videre sige at  l a l * l b l er det samme som skalarproduktet? hvad så med numerisk tegnet?

Jeg forstår heller ikke nede i afsnittet "vinklen mellem l a l + l b l   og   l a l - l b l beregnes"  - hvorfor sætter du ½ ind foran tælleren og nævneren og hvorfor trækker du l b l² fra i tælleren??

Hmm.. sorry for de mange spørgsmål, men jeg vil virkelig gerne forstå det.

Tak for hjælpen.

#3

Har du koordinaterne til de enkelte vektorer, kan du sagtens regne resten, - ikke sandt?
 

Jo men problemet er at jeg har desværre ikke koordinaterne til de enkelte vektorer.

først og fremmest tegn det:

ved brug af cos-relationen
haves
             la+bl² = lal² + lbl² - 2·lal·lbl·cos(180º-V)       når V er vinklen mellem a og b

hvoraf
                                               _{skalarproduktet}
             la+bl² = lal² + lbl² + 2·lal·lbl·cos(V)             da cos(180º-V) = -cos(V)

             la+bl² = lal² + lbl² + 2·a•b

................

i et parallellogram halverer diagonalerne hinanden