Acceleration

I en konstant cirkelbevægelse er accelerationens størrelse

a = v²/R ,

hvor v er den konstante fart, og R = 10m er radius i cirkelbevægelsen. Da vi ønsker a = 5g, må vi have

v_konst = √(a R) = √(5g R) = 22,16 m/s

Da farten ændres lineært fra hvile til v_konst, kan vi finde den tid T, det tager at bringe karrusellen til farten v_konst:

v_konst = cT, eller 

T = v_konst/c = 18.47 s

 ok.

b) Ser formlerne således ud:

Tangentiale acceleration: a_t=d(v)/dT

Radiale acceleration: a_r=v^2/T

og er astronautens acceleration a i tidsrum T, så:

a= a_t+a_r

??

Haha nu må jeg træde til igen !

Jeg har også fået farten til at være 22,16 m/s

Men jeg har altså regnet t ud således:

For at finde tiden:
v = c * t
5g=1,2m/s² * t
t= (5*9,82 m/s² )/(1,2 m/s² )= 40,91 s
 

er jeg galt på den?

#3

Du dividerer noget af dimension som acceleration med acceleration, hvilket er dimensionsløst. Jeg dividerer en fart med en acceleration og får tid ud af det. Sluthastigheden er ikke 5g, men derimod √(5g R) .

 Hvad med mine udtryk? Er jeg helt galt på den?

Og jeg spørger igen:

b)

Ser formlerne således ud:

Tangentiale acceleration: a_t=d(v) / dT 

Radiale acceleration: a_r= (v²) / (T) = (c*t)² / (T)

og er astronautens acceleration a i tidsrum T, så:

a= a_t+a_r

????

b)

Da bevægelsen foregår på en cirkel med radius R, kan vi skrive karusselstolens positionsvektor som

r(t) = (R cosθ, R sinθ) , hvor omdrejningsvinklen θ afhænger af tiden t. Vi skriver nu hastighedsvektoren som

v(t) = dr/dt = (-R sinθ dθ/dt , R cosθ dθ/dt) , og endelig accelerationen som

a(t) = dv/dt = (-R cosθ (dθ/dt)² - R sinθ d²θ/dt² , -R sinθ (dθ/dt)² + R cosθ d²θ/dt²)

       = -(dθ/dt)² r + d²θ/dt² (-R sinθ, R cosθ) .

I det sidste udtryk har vi opløst accelerationen i en radial komponent, og en tangentiel komponent.

Af udtrykket for v(t) ser vi, for 0s ≤ t ≤ T, at

v(t)² = R² (dθ/dt)² = (ct)² = c²t² , eller

(dθ/dt)² = (ct/R)² , eller

|dθ/dt| = ct/R . Vi kan antage, at vi regner vinklen θ som voksende med tiden, så vi har da

dθ/dt = ct/R , og dermed

d²θ/dt² = c/R .

Indsætter vi disse udtryk i udtrykket for accelerationen, får vi

a(t) = -(ct/R)² r + c (-sinθ, cosθ) .

Nu er r/R en enhedsvektor i den radiale retning, og (-sinθ, cosθ) er en enhedsvektor i den tangentielle retning, så for komponenterne af accelerationen har vi nu

a_rad = -(ct)²/R = -v²/R , og

a_tan = c .

Bemærk, at accelerationen i den tangentielle retning er konstant, c = d|v|/dt .

Størrelsen af accelerationen er da bestemt af

|a|² = a_rad² + a_tan² = (ct)⁴/R² + c² , eller

|a| = c√(c²t⁴/R² + 1)

Disse udtryk gælder for 0s ≤ t ≤ T .