Bestem forskrifterne for de to 2. gradspolynomier ud fra:

Det er lidt uheldigt, at du kalder begge 2.-gradspolynomier for f(x), da det er to forskellige polynomier. Desuden fortæller du ikke, hvilken parabel betingelserne i den 2. linie drejer sig om, og ejheller hvilken parabel betingelserne i den 3. linie drejer sig om.

I det væsentlige skal du bestemme 6 koefficienter. Betingelserne i den første linie giver dig 4 ligninger, betingelserne i den 2. linie (når den er formuleret korrekt) giver yderligere 1 ligning i det ene sæt koefficienter, og endelig giver den 3. linie den sidste ligning, så der i alt er 6 ligninger med 6 ubekendte.

skal mødes i punkt (2,2) med fælles tangenthældning.
f(2)=g(2)=2   fører til

4a1+2b1+c=2

4a2+2b2+c=2

f '(2) = g '(2) fører til
 

4a2+2b2=4a1+2b1  som vi vidste i forvejen!

uendelige mange l'sninger  fx  a(x-2)²+2 for alle a , tegn!   o.s.v

f(x)=a_1*x^2+b_1*x+c_2 og g(x)=a_2*x^2+b_2*x+c_2 

• f(x)skal skære - aksen i punkt (0,6) og parablens ben skal vende opad

• g(x)skal have toppunkt i (6,4) og parablens ben skal vende nedad.

skulle der have stået.

hvilken tredje ligning er det du omtaler?

enig med #1 at du sjusker med formuleringen

men hvis du holder fast v. c2 og c2, i begge f og g så tror jeg på uendelige mange løsninger på alle 3 forskellige opgaver

De to parabelforskrifter er

f(x) = a₁x² + b₁x + c₁

g(x) = a₂x² + b₂x + c₂

Betingelserne f(2) = 2 og g(2) = 2 fører til

4a₁ + 2b₁ + c₁ = 2

4a₂ + 2b₂ + c₂ = 2

mens betingelsen f'(2) = g'(2) fører til

4a₁ + b₁ = 4a₂ + b₂ .

Betingelsen, at f skal skære x-aksen i (0, 6) og vende benene opad fører til

c₁ = 6 og a₁ > 0

Betingelsen, at g skal have toppunkt i (6, 4) og vende benene nedad fører til

g'(6) = 0 og g(6) = 4 og a₂ < 0, dvs

12a₂ + b₂ = 0

36a₂ + 6b₂ + c₂ = 4 , og a₂ < 0 .

Vi har nu følgende ligninger for g's koefficienter:

4a₂ + 2b₂ + c₂ = 2

12a₂ + b₂ = 0

36a₂ + 6b₂ + c₂ = 4

Den 1. og 3. af disse ligninger giver ved subtraktion

32a₂ + 4b₂ = 2 , hvoraf

16a₂ = -2

a₂ = -1/8

b₂ = -12a₂ = 3/2

c₂ = 2 -4a2 -2b2 = 2 + 1/2 -3 = -1/2

Vi vender nu tilbage til ligningerne for f's koefficienter, hvor vi allerede har c₁ = 6 :

4a₁ + 2b₁ = -4

4a₁ + b₁ = 4a₂ + b₂ = -1/2 + 3/2 = 1

hvoraf

b₁ = -5 og

a₁ = (1+5)/4 = 3/2

De fundne forskrifter er derfor

f(x) = 3/2 x² - 5x + 6

g(x) = -1/8 x² + 3/2 x - 1/2

Der er således kun een løsning til opgaven.