Spredning og varians

Man kan sige, at variansen siger noget om den forventede værdi af kvadratet på afstand fra middelværdien υ (hvis du forstår, hvad jeg mener), så σ² = E((x-υ)²), og standartafvigelsen er kvadratroden af variansen

Hvis du har n målinger x1, x2, x3, · · · xn og du af det beregner middelværdien m er variansen                                                   s² = ((x1-m)² + (x2-m)² + · · ·  (xn-m)²)/(n-1) Spredningen er kvadratroden af variansen altså s.

Du kan jo prøve at spekulere på, hvorfor man vælger at kvadrere udtrykket x-υ og ikke bare lade det stå

Tak for indsatsen.

Jeg forstår ikke hvad du mener Erik.

Peter: Er variansen lig med s eller s²? (Står s for spredning?)

Jeg prøvede at taste det ind på min lommeregner. Når jeg bruger funktionen variance får jeg samme resultat som:

((x1-m)²+(x2-m)²+...+(xn-m)²)/n

Hvordan kan det passe??? Er min lommeregner galt på den eller husker du formlen forkert Peter?

Det er s², der er variansen, s er spredningen. Hvis du også beregner middelværdien af tallene og bruger denne til beregne spredningen og variansen skal man dividere med n-1. Hvis man har middelværdien af anden vej skal man dividere med n. Det kræver ret lange og kompliceret beregninger at vise det. Jeg gætter på at fabrikanten bare er sprunget over hvor gæret er lavest har valgt det nemmeste. De fleste vil jo nok rent umiddelbart anse division med n som det mest sandsynlige

OK. Jeg er ved at forstå det nu. Jeg kan i hvertfald regne mine opgaver.

Jeg ville gerne vide hvad det rent faktisk betyder. Når variansen, som i eksemplet ovenfor, er 15 og spredningen er 3,9 hvad siger det så?

Din forklaring med at med OGSÅ skulle finde middelværdien og dermed dividere med n-1 forstår jeg stadig ikke. Du bliver da nødt til at regne middelværdien ud fra tallene. Hvordan ville du  finde den af anden vej? Gætte? Købe den hos på Hydro Texaco? 

Spredningen fortæller noget om hvor tæt tallene er på middelværdien. Er spredningen lille vil de fleste tal man møder være tæt på middelværdien. Er den større vil der være flere værdier langt fra middelværdien.  Der findes en generel ulighed Chebychevs ulighed der giver en ret generel grænse. Den siger  P{|X-m| ≥ c} ≤ s²/c² . Hvis du har mulighed for det så prøv at lave nogle grafer for frekvensfunktionen for  normalfordelingen med forskellige værdier af variansen.

Det normale vil være at man også beregner middelværdien af sine data; men der forekommer altså tilfælde hvor man kender middelværdien af anden vej.

Tak for hjælpen. Selv om jeg stadig ikke ved hvad det helt præcis er spredningen fortæller, andet end noget om hvor tæt den er på middelværdien, så hjalp de andre oplysninger mig meget

så tænk på, om tallene klumper sig sammen omkring middelværdien eller om de ligger mere spredt, du kan se på den klokkeformede figur, hvordan det ligger

Jeg har godt en fornemmelse af, hvad den beskriver. Jeg mangler bare en måleenhed om jeg så må sige. Hvis middeltallet fx. er 100 og spredningen er 10, betyder det så at en hvis procentdel ligger inden for 90 - 110? Eller er det 95-105? Forstår du hvor jeg vil hen? Jeg kan udemærket se det afbilledet i et diagram, men hvis jeg får spørgsmålet til eksamen om hvad fx. spredningen 6 siger om en undersøgelse, så ved jeg ikke hvad jeg skal svare. Og er 6 meget eller lidt?! (retorisk spørgsmål)

Jo tallet 6 siger intet, det afhænger jo helt af det konkrete forsøg, og hvis man skal sige det kort, så giver en stor standardafvigelse (spredning) en flad og bred klokkekurve, mens en lille σ giver en høj og smal kurve. Du skal selv prøve med nogle forsøg. For eksempel: Tag en æske tændstikker og mål længden af dem med et præcisionsinstrument (skydelære eller mikrometerskrue). Skriv så resultaterne op, regn på middelværdi, spredning og varians, tegn det op i et punktdiagram og forbind punkterne. Det er faktisk den eneste måde at få en fornemmelse af, hvad man taler om.

#10 Hvis middeltallet fx. er 100 og spredningen er 10, betyder det så at en hvis procentdel ligger inden for 90 - 110? Eller er det 95-105?

Ja. Det er en god beskrivelse. Hvor meget der vil ligge inden for disse grænser er afhængig af den specifikke fordeling. Chebychevs ulighed  giver en generel grænse.