n'te gradspolynomium

står der noget om hvilke værdier n kan antage?

hvis n er ulige, for eksempel lig 3, så er 2³ = 8 og 2^-3 = -8, funktionen må derfor skære x-aksen, da den er kontinuert

Leddet af højeste grad har formen

a·xⁿ , hvor a ≠ 0. Når |x| bliver tilstrækkeligt stor, bliver |axⁿ| større end summen af de øvrige led tilsammen, så for numerisk store x opfører polynomiet p(x) sig som leddet axⁿ . Når n er ulige, har axⁿ samme fortegn som a, og -axⁿ har modsat fortegn af a. Det betyder, at vi kan finde et tilstrækkeligt stort x, så p(x) har samme fortegn som a, og et tilstrækkeligt lille (numerisk stort, men negativt) x, så p(x) har modsat fortegn af a. Da ethvert polynomium er kontinuert, må der altså findes et x, hvor p(x) = 0.

Ubs læser ikke det hele.

f(x) =3 x⁵      bare et eksembel

x<0 ⇒f(x)<0 medens x>0 ⇒ f(x)>0

f(x) skifter fortern efterhånden som x bliver større, derfor må f(x) på et eller andet tidspunkt passere 0

#2 - 2^-3 er altså ikke lig med 8, men derimod med 1/8 . Der skal arbejdes lidt mere med dette argument. Men 2^x er heller ikke noget polynomium.

nej vrøvl jeg forvekslede det med (-2)³, læste det ikke ordentligt

#4 - Et polynomium af n'te grad kan sagtens have mange led af lavere grad end n. Man er nødt til at lave vurderinger, som jeg har skitseret i #3 og udnytte, at polynomiet er kontinuert.

#3 ja men er det ikke det samme, jeg skriver? Hvis a = 1, så har vi x³ som det væsentlige led og dermed 2³ = 8 og (-2)³ = -8, se grafen vedhæftet

Hvis vi skal følge den tankegang, så skal vi have x³>a*x² for alle a, men hvis a > x, så er ax² > x³

jeg tror jeg har regnet den ud..

når n er ulige vil hver y-værdi tilhørende en negativ x-værdi og være negativ, og enhver y-værdi tilhørende en positiv x-værdi vil være positiv. da et polynomium altid er kontinuert vil grafen altså skære x-aksen

kan det passe?.. hmm kan ikke helt få det til at passe. måske skal x være større end a eller noget i den stil?

#8 #9

Jo, det er lidt i den retning. Men pointen i #9 er, at a ikke varierer, og at vi har vilkårligt store x til rådighed. Vælger vi et x, så |x| > |a|, er x³ > ax² .

Egentlig kan vi nøjes med at betragte polynomier af formen

p(x) = xⁿ + b₀ + b₁x + b₂x² + ... + b_n-1x^n-1 , hvor n er ulige,

da vi jo altid kan dividere polynomiet med a (a ≠ 0) . Ser vi på resten p(x) - xⁿ har vi, for x > 0

|b₀ + b₁x + b₂x² + ... + b_n-1x^n-1 | ≤ |b₀| + |b₁|x + |b₂|x² + ...+ |b_n-1|x^n-1

     ≤ M (1 + x + x² + ... + x^n-1) = M (xⁿ - 1)/(x-1) , hvor M = max(|b₀|,|b₁|,|b₂|,...,|b_n-1|) .

Vælger vi et x > 0, så

xⁿ > M (xⁿ-1)/(x-1) , altså så

xⁿ⁺¹ > (M+1)xⁿ - M , hvilket er opfyldt, hvis x = M+1 , så er det klart, at p(x) > 0 .

Tilsvarende kan vi vise, for x << 0, at vi kan vælge et x, så p(x) < 0.

#10 - Det gælder kun, hvis du betragter polynomier af formen axⁿ , hvor a > 0. Men et polynomium af n'te grad kan have mange led af grad < n.

I det væsentlige skal man vise, at et polynomium p(x) af grad n, hvor koefficienten til leddet af grad n er 1, går mod uendelig for x → ∝ . Hvis n er ulige, følger deraf, at p(x) → -∝ for x → -∝ . Da p(x) er kontinuert, følger det, at der findes et x, så p(x) = 0.

Jeg tror ikke, der er ment et polynomium, som beskrevet i denne opgave men kun et på formen a₁xⁿ, hvor a₂, a₃,...a_n alle er 0. Det generelle polynomium er ikke gymnasiestof, så vidt jeg husker det.

#14 - Så burde det jo nok være angivet i opgaveteksten. Et polynomium af formen a₁xⁿ har jo trivielt roden x = 0, så der er ikke meget at lave opgave på i dette tilfælde.

# 14 det er det generelle polynomium ..

jeg skal ikke lave bevisførelse eller noget for denne opgave, men er der nogen der kan forklare det kort og præcist med ord så jeg kan se om jeg er på rette spor? tak 

#16 - Det er nok forklaringen i #13, der giver det i korte træk.

her er en graf, der illustrerer det

så er den lavet :D .. tak for hjælpen

#18 - men det er jo ikke et generelt bevis for polynomier af ulige grad.