Projektion af vektor

En retningsvektor r for linien l ses at være

r=(-4,3)

og projektionen af vektoren ã=(-1,7) på linien l er da

proj_r(ã) = [(ã*r)/|r|^2]*r

hvor (tjek selv)

ã*r = 25
|r|^2 = 25

så

proj_r(ã) = r = (-4,3)

Hvis du ikke synes, at det er fornuftigt, så observer at

ã-r = (-1,7)-(-4,3) = (3,4)

og r er ortogonale, thi

(ã-r)*r = 0 (1)

Ifølge projektionsformlen gælder, at

[ã - proj_r(ã)]*r = 0

Sammenholdt med (1) følger det, at proj_r(ã) = r, som ønsket.

Indtegn eventuelt ã og r som stedvektorer i planen, så kan du visualisere situationen.

//Singularity

Kan ikke forstå hvordan du kommer frem til retnings vektoren = (-4,3)

Jeg har lært at r=(1,a) udfor fomlen for linien l: y=(ax+q)

Så derfor vil jeg mene at r=(1,-3/4)

????

#2: Det er også korrekt, og begge vektorer er retningsvektorer for linien l, thi de er parallelle;

(-4,3) = s(1,-3/4)

for s = -4.

Lad os for fuldstændigheds skyld beregne projektionen af ã=(-1,7) på vektoren r=(1,-3/4). Vi har

ã*r = (-1)*1 + 7*(-3/4) = -25/4

|r|^2 = 1^2 + (-3/4)^2 = 25/16

og dermed fås

proj_r(ã) = [(-25/4)/(25/16)]*r = -4*r = (-4,3)

nøjagtig som anført ovenfor. Projektionen afhænger ikke af, hvilken retningsvektor, vi vælger.

Hvor jeg har (-4,3) fra? Jo, du vil nok erindre, at når linien er givet på normalform;

a(x-x0) + b(y-y0) = 0 (1)

eller, hvis man foretrækker (og det gør vi!);

ax + by + c = 0

med c = -(a*x0 + b*y0), så er (a,b) en normalvektor for linien.

En ligning for linien l, på normalform, er

l: 3x + 4y - 5 = 0

så (3,4) er en normalvektor for l. En retningsvektor for l er så tværvektoren til denne, hvilket netop er vektoren (-4,3).

"Solidum petit in profundis"

//Singularity