Tangentens ligning (vektorfunktion)

Den afledede til stedvektorfunktionen

r(t) = (sin(t) ; sin(2t)) er

r'(t) = (cos(t) ; 2cos(2t)) ,

og r'(t) er tangentvektor til kurven r(t) . Tangenten til kurven for t = π/8 går da gennem punktet (sin(π/8) ; sin(2π/8)) og har vektoren (cos(π/8) ; 2cos(2π/8)) som retningsvektor . Tangentens hældningskoefficient i dette punkt er da

a = 2cos(2π/8)/cos(π/8) .

Hertil kan benyttes, at

sin(π/4) = cos(π/4) = (√2)/2 og

sin(π/8) = (√(2-√2))/2 , og cos(π/8) = (√(2+√2))/2

Hvad bliver ligningen for tangenten til kurven for t = pi/8 så?

Indsætter man talværdierne, bliver hældningskoefficienten

a = 2·√(2-√2) = 1,530734 , og tangenten skal gå gennem punktet

(sin(π/8) ; sin(π/4)) = ((√(2-√2))/2 ; (√2)/2) , dvs. tangentens ligning er

y = 2·√(2-√2)·x -2 + (3/2)√2

Jeg har da bare lært, at tangentens ligning ser således ud:

y = a * x + b

#4

Ja, og sådan ser da også denne tangentligning ud, med

a = 2·√(2-√2) og b = -2 + (3/2)√2

Forstår heller ikke rigtig, hvordan hældningskvotienten:

a = 2cos(2π/8)/cos(π/8)

er sådan?

#6 - Fordi en retningsvektor for tangenten er vektoren (cos(π/8) ; 2cos(2π/8)) = (a_x ; a_y) . Hældningskoefficienten er da

a = a_y / a_x

Når okay.

Undskyld men jeg forstår heller ikke, hvordan du beregner b?

Mere præcist forstår jeg ikke den her del:

tangenten skal gå gennem punktet

(sin(π/8) ; sin(π/4)) = ((√(2-√2))/2 ; (√2)/2) , dvs. tangentens ligning er

y = 2·√(2-√2)·x -2 + (3/2)√2

#9 - En linie med hældningskoefficent a , der går gennem punktet (x₀ ; y₀) , har ligningen

y = a·(x - x₀) + y₀ .

Indsæt så de relevante værdier for den nærværende opgave.

#10 - kan forestille mig, at det er rigtig nemt, men kan bare ikke se, hvordan jeg skulle gøre det. Vi har jo kun fået at vide, at t = pi/8 ..

Er det så bare om at sætte t = pi/8 i sin(2t), da det er y0, hvor så b bliver beregnet?

Eller nej det passer jo ikke til de 0,121 du får det til .. :(

#12 - Gå op til #3. Der har jeg givet de præcise værdier for (x₀ ; y₀) og for hældningskoefficienten a . Det, du kalder b, altså konstanten i liniens ligning y = ax + b , er

b = y₀ - a·x₀ , og her er

a = 2·√(2-√2) , og

(x₀ ; y₀) = (sin(π/8) ; sin(π/4)) = ( (√(2-√2))/2 ; (√2)/2 ) , hvoraf

b = -2 + (3/2)√2

Tusind tak!